Как определить закон распределения величин по результатам измерений. Обнаружение грубых погрешностей измерений

  Задача определения результата измерения является частным случаем нахождения оценок параметров ЗРСВ на основании выборки, т.е. ряда значений в n опытах.

Оценку параметра называют точечной, если она выражается одним числом, но она является также случайной величиной.

Точечная оценка истинного значения записывается в виде: â.

Требования, предъявляемые к точечной оценке:

Оценка является достоверной, если выполняются следующие требования:

Если она является состоятельной, т.е. при увеличении числа наблюдений приближается к значению оцениваемого параметра.

Если она является несмещенной, т.е. математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

Если она является эффективной, т. е.  если дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра (для НЗРСВ это соответствует условию оценки по методу наименьших квадратов).

Существует несколько методов определения точечной оценки, наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия (ММП):

      Вся информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений х1, х2, …. х n. Будем считать, что для всех параметров закон распределения соответствует НЗРСВ, тогда суммарная вероятность для серии наблюдений равна произведению вероятностей.

(3.1)

При некоторых значениях параметров произведение вероятностей будет максимальным, что определит значение точечной оценки измеряемой величины.

Логарифм функции правдоподобия равен:

(3.2)

Согласно теореме Байеса, приравняв к нулю производные данной функции по соответствующим переменным, можно получить точечные оценки для значения результата измерений и его СКО:

-   можно найти ,

 -   можно найти . (3.3)

 

           (3.4)

(для произведения вероятностей)

Рисунок 3.1

Решая систему уравнений, можно получить следующие важные соотношения: (3.5)

- первый начальный момент;

(3.6)

- второй центральный момент.

  Если взять вторую производную от логарифма плотности вероятности, то получим оценку для области неопределенностей  и его  СКО ()

, ,                                                                                 (3.7)

где   - СКО среднего арифметического;

        - СКО для СКО.

Относительная погрешность определения СКО велика и составляет при 50 измерениях 10%, а для среднего арифметического 7%.

Таким образом, для точечной оценки истинного значения измеряемой величины можно записать следующее соотношение:

=(),                                                                                                    (3.8)

Рисунок 3.2

- точечная оценка истинного значения измеряемой величины.

 

3.2 Оценка измеряемой величины с помощью доверительных интервалов

 

   Если необходимо повысить или понизить точность результата, т. е. можно записать

оценку результата измерений с помощью доверительных интервалов:

 =, P = …, n =…,                                                                             (3.9)

где  () - доверительный интервал неопределенности.

   Если доверительный интервал отличается от стандартного, при котором в него попадает приблизительно 2/3 всех полученных результатов измерений, то необходимо определить значение квантили (). При этом нужно дополнительно указывать число выполненных измерений (n) и доверительная вероятность (P):

Рисунок 3.3

 

При n > 30 для нахождения числового значения квантили (t) можно использовать закон распределения Гаусса:

Таблица 3.1

P	0,5	0,68	0,95	0,997
t	0,667	1	2	3

 

Если n < 20, то использовать закон распределения Стьюдента.