3.3 Доверительный интервал неопределенности для ско

 

  СКО является также случайной величиной, т. к. получено в    результате обработки случайных величин, поэтому для его также можно построить соответствующий ЗРСВ.

Для оценки СКО СКО (), т. е. при нахождении интервала неопределенности для СКО используют распределение c2 - (Пирсона).

(3.10)

где   - статистическая дисперсия,

        - теоретическая дисперсия.

При , , а , (3.11)

Рисунок 3.4

Теоретически меньше, чем число экспериментов.

(3.12)

- аналитическая форма записи для распределения Пирсона.

 k – число степеней свободы,

 

- вероятность того, что:

  .                                                                              (3.13)

  При увеличении числа опытов распределение становятся симметричным. 

Значение (a) соответствует вероятности попадания или нахождение СКО в интервале, определенном значениями ccmin  при условии, что вероятность непопадания в заданный интервал соответствует уровню значимости (q). Значения c2 табулированы для различных значений доверительной вероятности (Р) и числа степеней свободы (к =- 1).

Для удобства вычислений вероятности попадания СКО в заданный интервал для обеих сторон  графика распределения Пирсона принимают равными вероятность непопадания в заданный интервал равными q/2.

При известных интервалах неопределенности СКО можно определить по таблице c2 - Пирсона доверительную вероятность нахождения СКО в заданном интервале или решить обратную задачу, т. е. по заданной вероятности определить интервал неопределенности для СКО.

Таким образом, для оценки доверительного интервала неопределенности СКО используется распределение c2-Пирсона, а для точечной оценки интервала неопределенности СКО формула:

,

  где .                                                                                      (3.14)

 

3.4 Проверка нормальности распредедения результатов наблюдений

 

Нужно подобрать функцию, наилучшим образом соответствующую опытным данным. С этой целью сравнивают экспериментально полученный ЗРСВ в виде гистограммы или полигона с соответствующим теоретическим ЗРСВ, например, нормальным.

Для этого рекомендуется следующий порядок действий: 

Построить гистограмму.

Перейти от абсолютных величин к относительным ().

Произвести разбиение теоретического графика на определенное число интервалов, соответствующее числу интервалов на гистограмме.

Определить для данных интервалов значения вероятностей теоретических и экспериментальных.

Найти суммарную меру расхождения между теоретическим и экспериментальным законами распределения случайных величин.

По полученной мере расхождения для числа степеней свободы (k = r – 3, где r –интервалов гистограммы) по таблице распределения cПостроение гистограмм:

При разбиении массива полученных данных на интервалы, необходимо учитывать, что в каждый интервал должно попадать не менее 5 наблюдений.

Таблица 3.2

n	r
40-100 100-500 500-100	7¸9 8¸12 10¸16

Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми, но можно выбирать и с разным шагом: малые интервалы  при большой концентрации результатов и большие - при их малой концентрации.

Масштаб гистограммы по осям рекомендуется выбирать из условия отношения высоты к основанию в пределах 5/8.

  После построения гистограммы строят плавную кривую (полигон) и сравнивают ее с нормальным законом. Можно подставить полученные значения в формулу Гаусса и сравнить полученный разброс значений с теоретическим графиком. При визуальном сравнении если графики приблизительно совпадают, то можно считать, что закон близок, например, к нормальному. По требованию заказчика вычисляют значение доверительной  вероятности соответствия экспериментально полученного закона распределения теоретическому или ожидаемому (метод проверки статистической гипотезы).

при = const,                                                            (3.15)

 ,                                                                          (3.16)

где     -  весовой коэффициент ();

           -  суммарная мера расхождения,

-экспериментальная вероятность

-теоретическая вероятность

(3.17)

- сколько результатов должно было попасть в интервал;

- сколько результатов попало в данный интервал.

   При полученной доверительной вероятности превышающей уровень значимости 5-10% можно считать, что закон соответствует нормальному.

Для упрощенного сравнения законов могут использоваться другие способы, например, критерий согласия Колмогорова - Смирнова (l-   критерий согласия                                       (3.18)             Рисунок 3.5

Таблица 3.3

l	0	0,5	0,7	0,8	0,9	1,2	1,4
P	1	0,964	0,711	0,544	0,393	0,112	0,04

 

Для данного, при известном числе экспериментов n ,по табличным данным находим доверительную вероятность соответствия математической модели реальному объекту измерений.

Данный метод уступает по точности методу -Пирсона, но гораздо проще в применении.