metodichka_po_pogreshnostyam
.pdfЕ.А. Манина, Г.А. Шадрин
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА
Учебно-методическое пособие
Сургут
2007
0
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ
СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА
Е.А. Манина, Г.А. Шадрин
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА
Учебно-методическое пособие Для студентов всех специальностей
Сургут
2007
1
УДК 53.088(072)
ББК 22.3я73
О-23
Обработка результатов измерений. Методическое пособие для студентов всех специальностей / Составители: Е.А. Манина, Г.А. Шадрин. – Сургут: Изд-во СурГУ, 2007. – 49 с.
Пособие содержит классификацию погрешностей измерений в зависимости от причин их появления, описание оценки погрешностей прямых и косвенных измерений. В работе приведен расчет случайной погрешности прямых и косвенных измерений, предложены алгоритмы обработки результатов прямых и косвенных измерений. Рассмотрен вопрос о правилах построения графиков и работы с ними, предложены методы расчета физических величин из данных, представленных в виде графика.
Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину физика.
Табл.: 6. Илл.: 14. Библиогр.: 14 наим.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Сургутского государственного университета.
Рецензенты: В.П. Иконников, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры экспериментальной физики СурГУ,
А.В. Смирнов, доктор педагогических наук, профессор кафедры теории и методики обучения физике МПГУ.
©Е.А. Манина, Г.А. Шадрин, 2007
©Сургутский государственный университет, 2007
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ………………………………………………. 4
Глава Измерение физических величин. Погрешности изме-
1.рений………………………………………………... 5
§1 |
Классификация погрешностей измерений ………….. |
5 |
§2 |
Закон нормального распределения случайных по- |
|
|
грешностей ……………………………………………. |
11 |
Глава |
Методы определения погрешностей измерений …… |
16 |
2 |
|
|
§1 |
Оценка погрешностей методом статистического учета |
|
|
…………………………………………………… |
16 |
1.1Расчет абсолютной и относительной погрешностей
|
прямых измерений …………………………………… |
16 |
1.2 |
Оценка погрешностей косвенных измерений ……… |
19 |
1.3 |
Правила обработки результатов измерений ………... |
21 |
§2 Графический метод определения погрешностей …... |
23 |
|
2.1Графики ……………………………………………….. 23
2.2Методы расчета физических величин из данных,
представленных в виде графика …………………….. 28
2.3Определение параметров линейной зависимости из графика ………………………………………………... 29
2.4Метод парных точек ………………………………….. 31
2.5 Метод наименьших квадратов ………………………. |
33 |
Контрольные вопросы ……………………………….. |
35 |
Использованная литература …………………………. |
36 |
Рекомендуемая литература ………………………….. |
36 |
Приложение 1. Правила округления чисел …………. |
37 |
Приложение 2. Некоторые свойства логарифмов ….. |
37 |
Приложение 3. Понятие частной производной и при- |
|
меры вычисления частных производных ………. |
38 |
Приложение 4. Определение относительной погреш- |
|
ности косвенных измерений …………………… |
42 |
Приложение 5. Погрешности элементарных функций |
|
…………………………………………………….. |
45 |
Приложение 6. Расчет погрешностей измерений ме- |
|
тодом наименьших квадратов ……………………….. |
47 |
Приложение 7. Распределение Стьюдента …………… |
49 |
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие написано на основе курсов «Общая физика» и «Физика твердого тела», читаемых студентам естественнонаучных специальностей. В процессе познавательной деятельности человека возникает множество задач, для решения которых необходимо располагать количественной информацией о том или ином свойстве объектов материального мира (явления, процесса, вещества, изделия). Основным способом получения такой информации являются измерения.
Результаты любых измерений, как бы тщательно и на каком бы высоком уровне они не выполнялись, неизбежно содержат некоторые погрешности. Абсолютно точных измерений не может быть принципиально. Именно поэтому успешная работа студентов в лабораториях, наряду с изучением методов и средств измерений и приобретением навыков измерений, предполагает также их знакомство с методами математической обработки результатов измерений, анализа и оценивания погрешностей.
Данное пособие знакомит студентов с классификацией ошибок измерений и основными методами расчета погрешностей исследуемых величин.
Первая глава содержит описание различного рода погрешностей измерений, причин их возникновения и возможностей устранения и учета. Также в этой главе дано понятие о нормальном распределении случайных величин, которому, являясь случайными величинами, подчиняются и погрешности измерений.
Вторая глава посвящена описанию различных методов оценки погрешностей студенческого лабораторного практикума. Представлены аналитические и графические способы обработки получаемой в ходе работ информации. Указаны правила построения графиков исследуемых зависимостей и снятия с них различного рода показаний.
В приложениях представлен справочный материал, включающий в себя ряд правил, необходимых для обработки результатов измерений. Подробно разобраны примеры нахождения частных производных функций, используемых в методе статистического учета погрешностей измерений, и примеры расчета погрешностей методом наименьших квадратов и методом парных точек.
4
Пособие рассчитано на студентов как физических, так и нефизических специальностей.
5
ГЛАВА 1. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
§1. Классификация погрешностей измерений
Цель любого исследования – установление связи между различными физическими явлениями и характеризующими их величинами. Каждая из лабораторных работ физического практикума посвящена изучению определенного физического явления, измерению той или иной величины, характеризующей данное явление или свойства тела, воспроизведению опытов по установлению основных законов природы. Как правило, всякое такое исследование состоит из одного или нескольких измерений.
Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с однородной величиной, принятой за единицу измерения. Измере-
ния делят на прямые и косвенные.
При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К таким измерениям относятся измерения длины линейкой, штангенциркулем, микрометром и т.п.; измерения промежутков времени при помощи часов или секундомера; измерения температуры термометром, силы электрического тока амперметром и т.д. При этом значение измеряемой величины отсчитывается по шкале прибора или подсчитывается число и значение используемых мер.
Мера представляет собой средство воспроизведения физической величины определенного размера с заданной точностью.
Измерительные приборы – устройства, предназначенные для измерений и имеющие части, которые воспринимают измеряемую величину и преобразуют ее в показание (весы, штангенциркуль, термометр, амперметр и т.п.).
При косвенных измерениях измеряемая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью.
Примерами косвенных измерений могут служить вычисления скорости равномерного (или равноускоренного) движения по измерениям длины пройденного пути и промежутков времени; вычисления плотности тела по измерениям массы и объема тела; вычисления
6
объема цилиндра по измерениям его высоты и диаметра и т. п.
При измерении любой величины мы никогда не получаем ее истинного значения, т.е. результат измерения дает лишь приближенное значение. Это объясняется с одной стороны принципиально ограниченной возможностью точности измерения, с другой – природой объектов исследования. Таким образом, мы получаем результаты с некоторыми погрешностями.
Погрешности измерений – это отклонение результатов измерений от истинных значений, измеряемых величин.
Причины появления ошибок измерений различны, и в зависимости от них погрешности можно классифицировать по ряду оснований. Для наглядности представим следующую схему.
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные |
|
|
|
|
Систематические |
|
|
Промахи |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ошибки параллакса |
|
Субъективные погрешности |
|
Погрешности измерительных приборов |
|
|
Погрешности, возникающие вследствие внешних воздействий |
|
|
|
Погрешности, обусловленные выбором метода измерения |
|
Инструментальные погрешности |
|
|
Погрешности из-за неправильной установки и не выполненной поверки прибора |
|
Погрешности, возникающие в результате округления чисел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим перечисленные ошибки измерений более подробно.
Случайные погрешности обусловлены рядом неконтролируемых обстоятельств, случайных причин, влияние которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено.
Типичным примером подобных погрешностей может служить так назы-
ваемая ошибка параллакса, которая состоит в следующем. Для отсчета делений шкалы прибора необходимо, строго говоря, расположить глаз наблюдателя
7
на перпендикуляре к шкале, проходящем через конец стрелки прибора или через край измеряемого предмета (рис. 1). Однако, это не всегда возможно, и при отсчетах можно получить либо завышенные, либо заниженные значения (рис. 2).
К случайным относят |
и |
|
субъективные погрешности – это |
Рис. 2. Неверное расположе- |
|
погрешности, обусловленные ин- |
ние глаза относительно |
|
дивидуальными свойствами |
на- |
шкалы отсчета. |
блюдателя. Например, запаздывание реакции человека на световой сигнал колеблется в пределах от 0,150 до 0,225 секунды, на звуковой – от 0,082 до 0,195 секунды. Субъективная погрешность может быть обнаружена при проведении одинаковых измерений несколькими экспериментаторами.
Развитие измерительной техники привело к появлению разнообразных приборов, отличающихся своей точностью. Точность прибора – это свойство измерительного прибора, характеризующее степень приближения показаний данного измерительного прибора к действительным значениям измеряемой величины. Она связана с физическим явлением, на основе которого построен метод измерения, и с допусками при изготовлении отдельных частей прибора. Точность прибора либо задается классом точности прибора, либо указана в паспорте, прилагаемом к прибору. Погрешность, вносимая прибором при каждом отдельном измерении, связана с точностью прибора. Эта погрешность равна той доле деления шкалы прибора, до которой с уверенностью в правильности результата можно производить отсчет1. Погрешность не может быть больше цены деления измерительного прибора.
Точность и погрешность связаны обратной зависимостью – измерение тем более точно, чем меньше его погрешность. Количественно точность выражается числом, равным обратному значению относительной погрешности. Например, если погрешность измерения составляет 2 10-5, то точность его 5 104.
1 Более подробно о классе точности прибора см. Сысоев С.М. Лабораторный практикум по электричеству и магнетизму: Методические указания к лабораторным работам по курсу общей физики. Для студентов всех специальностей / Сысоев С.М., Манина Е.А., Никонова Н.О.; Под ред. С.М. Сысоева. – Сургут: Изд-во СурГУ, 2004.
8
При обработке результатов измерений студенческого физического практикума, если нет возможности определить класс точности прибора, в качестве систематической погрешности будем брать минимальную цену деления прибора.
Часто стараются произвести измерения с наибольшей достижимой точностью, т.е. сделать погрешность измерения по возможности малой. При этом следует иметь в виду, что чем точнее мы хотим измерить ту или иную величину, тем труднее это сделать, тем больше времени и затрат потребуют эти измерения. Поэтому
не следует требовать от измерений большей точности, чем это необходимо.
Погрешности измерительных приборов относят к случай-
ным, т.к., во-первых, случаен выбор прибора экспериментатором, а следовательно и задаваемая точность. И во-вторых, состояние и работа отдельных узлов прибора зависят от внешних факторов. Так, с течением времени на деталях прибора накапливается пыль, что приводит к увеличению трения между ними. Повышенная влажность воздуха приводит к более быстрому стеканию заряда с обкладок конденсатора и уменьшению напряжения на нем. Все это отражается на показаниях приборов.
Погрешности, возникающие вследствие внешних влияний на средства измерения или объекты измерения.
Влияние температуры. Большинство измерительных приборов дает верные показания при температуре +20°С. При отклонении от этой температуры результаты измерений искажаются.
На температуру воздуха оказывают влияние потоки теплого или холодного воздуха, источниками которых являются радиаторы центрального отопления, электрические плитки, окна. Для уменьшения влияния этих причин, например при калориметрических измерениях, необходимо экранировать пламя горелки или плитку, и опыты проводить дальше от окон и радиаторов.
Влияние магнитных полей (магнитного поля Земли и магнитных полей токов) устраняют экранированием. В измерительных приборах экранирование предусмотрено их конструкцией, но оно не является полным.
Влияние вредных вибраций и сотрясений устраняют путем применения различных амортизаторов (пружин, резиновых прокладок, демпферов и т.п.).
Систематические погрешности возникают регулярно или
9