Фгоу впо

«КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Б

«УСТАНОВКА ОБЕРБЕКА»

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2008

Цель работы: изучение законов динамики вращательного движения твёрдого тела и проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Реквизит: набор дополнительных грузов (4шт.), секундомер, измерительная линейка.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Согласно основному закону динамики вращательного движения, угловое ускорение твёрдого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси, определяется суммой проекций моментов всех внешних сил на ось вращения:

(1)

где M_i – проекция момента i - той силы, действующей на тело, на ось вращения, ε – угловое ускорение, I – момент инерции тела относительно оси вращения. Исследовать уравнение (1) удобно с помощью прибора, показанного на рисунке 1. Прибор носит название установка, или крест Обербека. Четыре стержня 1 прикреплены на втулке под прямым углом. На стержнях находятся грузы массой m_гр каждый, способные перемещаться

Рис.1

вдоль стержней. Втулка и шкив 3 радиусом r имеют общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы 2 по стержням, можно легко изменять момент инерции I установки. На шкив намотана нить, к которой привязана платформа 4 известной массы m₀. На платформу можно класть дополнительные грузы 5 массой m₁ каждый. Меняя количество дополнительных грузов, можно менять силу, действующую на установку, а тем самым и момент силы.

По определению, момент силы есть произведение силы, действующей на тело, на плечо силы. Плечо – это расстояние от оси вращения тела до линии, вдоль которой действует сила. В нашем случае на установку действует сила Т натяжения нити. Легко увидеть, что плечо этой силы равно радиусу r шкива, на который намотана нить.

То есть

M = T∙ r (2)

Кроме того, из-за трения на оси на установку должен действовать момент силы трения М_тр. Как известно, силы трения всегда противоположны направлению движения тела, поэтому момент силы трения М_тр войдёт в уравнение (1) со знаком минус, т.е.

I∙ ε = T∙ r – M_тр (3)

Для того, чтобы определить силу Т натяжения нити, запишем второй закон Ньютона для платформы с грузом

m∙a = m∙g – T, или T = m∙ (g – a) (4)

где g – ускорение свободного падения, а – ускорение платформы с грузом, m – суммарная масса всех дополнительных грузов, установленных на платформу, и самой платформы, т.е. m = m₀ + n∙ m_1, где n = 0, 1, 2, 3 ,4. Из уравнений (2) и (4) получаем, что момент силы натяжения нити равен

M = T∙ r = m∙ (g – a)∙ r (5)

Согласно законам вращательного движения твёрдого тела, угловое ускорение  связано с линейным ускорением а уравнением

(6)

С учётом (3), (5) и (6) уравнение (1) будет выглядеть следующим образом:

или, если сделать преобразования:

(7)

В условиях опыта момент инерции I установки значительно больше величины mr², поэтому отношением в знаменателе (7) можно пренебречь. В результате получаем формулу, которую можно проверить экспериментально:

(8)

Рис.2

Для проверки уравнения (8) необходимо найти экспериментальную зависимость углового ускорения  от величины момента внешней силы mgr.

Для этого необходимо определить угловое ускорение  при разном значении массы m. Угловое ускорение  можно определить, зная ускорение а платформы, так как . Ускорение а можно рассчитать, измеряя время t, в течение которого платформа с дополнительным грузом или без него опускается на расстояние h:

(9)

По полученным результатам нужно построить график зависимости  от mgr, откладывая на оси у угловое ускорение , а на оси х величину mgr. Если уравнение (1) верно, то график будет представлять из себя прямую, подобную изображённой на рисунке 2. Из формулы (8) и рисунка видно, что наклон прямой равен . В точке пересечения графика с осью ускорение

ε = 0, следовательно (см. уравнение (9)), M_тр = mgr. Таким образом, эта точка непосредственно даёт значение момента силы трения в оси установки.

Рассмотрим теперь зависимость момента инерции I установки от расстояния b грузов m_гр от оси вращения (см. рис.1).

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера

I = I₀ + 4 m_гр b² (10)

где I₀  – момент инерции установки без грузов. Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (8),

пренебрегая в нём величиной момента силы трения М_тр, малой по сравнению с моментом внешней силы mgr. Из (9) и (10) имеем

Следовательно,

(11)

И

з (11) понятно, как экспериментально проверить зависимость (10): нужно, выбрав постоянную массуm платформы с перегрузками, измерить ускорение а при различных положениях b грузов m_гр на стержнях.

Результаты измерений удобно изображать в виде точек на координатной плоскости ХОУ, где ,. Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (11), а значит и формулу (10) (см. рис. 3).