05-02
.docx!Taskfile kontr_СМ 2-05-02#Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
!De=kontr_СМ 2-05#Геометрические характеристики поперечных сечений стержня
!Task1
Интегралы называются …
!Solution
Рассмотрим некоторую плоскую фигуру (см. рисунок). Отнесем ее к системе координат . Разобьем площадь фигуры на элементарные площади прямоугольной координатной сеткой. Если каждую элементарную площадь помножить на квадрат координаты y ее центра тяжести и сложить все произведения, то получим осевой момент инерции площади относительно оси x. Чем меньше шаг сетки, тем точнее результат. Заменяя суммирование интегрированием по площади, получаем
где А – площадь фигуры.
Аналогично определяем осевой момент инерции площади относительно оси y.
!
!Task2
Осевой момент инерции площади полукруга относительно оси x равен …
!Solution
Для круга . Для полукруга .
!True
!
!Task3
На рисунке размеры поперечного сечения стержня заданы в сантиметрах. Осевой момент инерции площади сечения относительно центральной оси x равен ___ см4.
!Solution
Дополним поперечное сечение до прямоугольника, который обозначим цифрой 1. Прямоугольнику с отрицательной площадью присвоим цифру 2. Ось является центральной для прямоугольников 1 и 2.
Осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной основанию, определяется по формуле где b –ширина прямоугольника; h – высота.
Поэтому при определении осевого момента инерции сечения необходимо из момента инерции прямоугольника 1 вычесть два момента инерции прямоугольника 2, то есть
.
!True
448
!Task4
Если , то значение осевого момента инерции площади относительно оси , параллельной основанию, равно …
!Solution
Для вычисления используем формулу перехода от центральной оси x к любой, параллельной ей. .
!True
!Task5
Осевой момент инерции круга относительно оси равен …
!Solution
Для круглого сечения диаметром осевой момент инерции относительно центральной оси y определяется по формуле .
Ось расположена параллельно центральной. Используем формулу перехода от центральной оси к любой параллельной ей.
,
где – расстояние между осями и y; А – площадь круга.
Тогда .
!True
!Task7
Для сечения, состоящего из двух швеллеров №20, момент инерции относительно оси равен ___ см4.
!Solution
Используя формулу, связывающую моменты инерции относительно параллельных осей, запишем
Значение для швеллера №20 взяты из таблицы ГОСТов.
!True
1657
!Task9
Момент инерции площади – величина …
!Solution
Момент инерции площади фигуры относительно оси x есть интеграл вида где А – площадь фигуры. Координата у входит под знак интеграла в квадрате. Площадь – величина всегда положительная. Поэтому момент инерции относительно любой оси – величина всегда положительная.
!