Федеральное агентство по образованию

Восточно-Сибирский государственный технологический университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Алгебра высказываний

Учебное пособие

Издательство ВСГТУ

Улан-Удэ, 2006 г.

Оглавление

Введение 3

1. Язык и метаязык 5

2. Высказывание 5

3. Алфавит и формулы алгебры высказываний 5

4. Семантика букв алфавита алгебры высказываний 7

5. Истинностные значения и истинностные таблицы формул алгебры высказываний 8

6. Отношение равносильности формул 8

7. Истинностные функции 9

8. Виды формул алгебры высказываний и их классификации 9

9. Важнейшие свойства общезначимых формул 10

10. Важнейшие общезначимые формулы 11

11. Методы установления общезначимости формул. Равносильные преобразования формул. 13

12. Отношение логического следования и его связь с общезначимостью 16

13. Применения языка алгебры высказываний 17

Контрольные вопросы 19

Задания для самостоятельного выполнения 19

Литература 23

Введение

Основными разделами современной математической логики (её классического варианта) являются логика высказываний, идущая от Дж. Буля и не охватывающая силлогистику Аристотеля, и значительно более широкая логика предикатов, содержащая силлогистику как часть. Современный вид математическая логика приобрела в 1880-е годы в трудах немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге (1848-1925). Он дал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов и сделал попытку свести математику к логике.

Итак, логика как наука возникла тогда, когда развитие специальных наук и человеческого мышления сделало актуальным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получить правильные выводы.

Основоположником «формальной» логики считается Аристотель, который впервые разработал теорию дедукции, т.е. теорию логического вывода. Логический вывод, по Аристотелю, состоит в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от их конкретного содержания.

Рассуждения различного конкретного содержания, принимаемые в разных областях знаний, могут иметь одну и ту же форму, одну и ту же структуру.

Рассмотрим примеры:

1. если ABCD- квадрат, то ABCD- ромб; если ABCD- ромб, то ABCD- параллелограмм; следовательно, если ABCD- квадрат, то ABCD- параллелограмм.

2. если , то; если,то;если, то;

3. если это- дуб, то это- дерево; если это- дерево, то это- растение;

если это- дуб, то это- растение.

Все эти рассуждения имеют различные содержании, но имеют одну и ту же форму: «Если P, то Q; если Q, то R; следовательно, если P, то R».

Формальная логика называется формальной именно потому ,что она изучает лишь формы человеческих рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания, для того, чтобы ответить на вопрос: как мы рассуждаем?

Логика Аристотеля совершенствовалась в течении многих веков, однако подлинный прогресс этой науки был достигнут в 19м веке, когда в логике стали применимы математические методы, в результате чего возникла математическая логика.

В настоящее время мат. Логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики, так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности искусственный интеллект).

Учебное пособие содержит теоретический и практический материал содержательного изложения логики высказываний, использующее семантическое понятие истинностного значения, которое называется алгеброй высказывания.