- •Раздел 1. Матрицы и определители
- •Раздел 2. Системы линейных уравнений
- •Раздел 3. Векторы и линейные пространства. Линейные операторы.
- •Раздел 4. Координатный метод. Прямая и плоскость.
- •Раздел 5. Кривые второго порядка. Квадратичные формы.
- •Раздел 6. Алгебраические структуры
- •4.2. Комплекты дидактических материалов к проведению занятий Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица
- •Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений
- •Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли .
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис
- •Скалярное произведение векторов, его вычисление, свойства и применения
- •Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения
- •Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения
- •Уравнения плоскости в. Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнения прямой в. Взаимное положение прямых, прямой и плоскости
- •Решение задач, связанных с различными уравнениями прямой и взаимным расположением прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •4.4. 4.5.
Скалярное произведение векторов, его вычисление, свойства и применения
1. Векторы иобразуют. Зная, что,, вычислить:
1.1. .1.2. ,.1.3. ,.
1.4. .1.5. .
2. Дано ,. Определить, при каком значенииa векторы ибудут взаимно перпендикулярны?
3. Даны ,и. Вычислить.
4. Векторы иобразуют угол, причеми. Определитьи.
5. Даны векторы ,. Вычислить:
5.1. .5.2. ,.5.3. ;
6. При каком a векторы ивзаимно перпендикулярны?
7. Даны вершины треугольника ,и. Определить его внутренний угол при вершине.
8. Векторы иобразуют угол. Зная, что,, вычислить уголa между векторами и.
9. Вычислить, какую работу производит сила , когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положенияв положение.
10. Даны вершины четырехугольника ,,и. Доказать, что его диагоналиивзаимно перпендикулярны
11. Доказать, что треугольник с вершинами ,,равнобедренный.
12. Вектор , коллинеарный вектору, образует острый угол с осью. Зная, что, найти его координаты.
13. Вычислить пр. вектора на ось, составляющую с координатными осямииуглы,, а с осью— тупой угол.
14. Даны точки ,,,. Вычислить пр..
15. В треугольнике ,, где,,. Найти.
16. Даны векторы ,,={-2;1;-3}, причем
= 26 и . Чему равно число?
17. Даны векторы ,,={-1;2;2}. Найти к косинус угла между векторамии.
18. Вектор перпендикулярен векторами, причем пр., где. Найти.
Дополнительные задания
Д-1. Известно, что ,,. Вычислить:
Д-1.1. .Д-1.2. ,.
Д-1.3. .Д-1.4. Пр. .
Д-2. Найти , если,,.
Д-3. Вычислить косинус угла между векторами и .
Д-4. Даны три силы ,и, приложенные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положенияв положение.
Д-5. Вычислить угол между векторами и, еслии.
Д-6. При каком натуральном значении векторыиимеют одинаковую длину, если,,.
Д-7. Даны векторы ,.Найти:
Д-7.1. .Д-7.2. Пр..
Д-7.3. .Д-7.4. Пр..
Д-8. В плоскости найти вектор, если,и.
Д-9. Найти вектор , коллинеарный вектору, если, где.
Д-10. Найти пр. вектора на ось, образующую с координатными осями равные острые углы.
Д-11. Вектор перпендикулярен векторамии образует с осьютупой угол. Найти его координаты, зная, что
Д-12. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.
Д-13. Найти вектор , перпендикулярный векторами, если пр., где.
Д-14. Дано: ,. При каком?
Д-15. Даны векторы ,и. Вычислить пр..
Д-16. Даны точки и. Вычислить проекцию векторана ось вектора.
Д-17. Точки ,,являются вершинами треугольника. Вычислить косинус внешнего угла при его вершине.
Д-18. В треугольнике вершины,,,и— медианы треугольника. Найти пр..
Д-19. Дано: ,,. Найти модуль вектора.
Д-20. В треугольнике вершины имеют координаты,,. Найти:
Д-20.1. Длины сторон.
Д-20.2. Косинусы внутренних углов.
Д-20.3. Острый угол между медианой и стороной.
Итоговый самоконтроль
С-1. Как установить ортогональность векторов и?
С-2. Как связаны в равностороннем треугольнике векторы и?
С-3. Точки и— середины стороничетырехугольника. Как выразитьчерез векторыиего сторон?
С-4. В треугольнике . Определить вид треуголь- ника.
С-5. Длина гипотенузы прямоугольного треугольникаравна. Найти величину .
С-6. В треугольнике даны длины его сторон,,. Найти.
С-7. Какой наибольший угол могут образовать векторы и?
С-8. Доказать, что тогда и только тогда, когда.
С-9. Пусть для двух ненулевых векторов ивыполняется равенство. Какому условию это равносильно?
С-10. Упростить выражение: .
С-11. Если , то какому условию должны удовлетворять векторыи?
С-12. Изменится ли скалярное произведение векторов, если к одному из них добавить вектор, перпендикулярный другому сомножителю?
С-13. Пусть ,,— ненулевые векторы. При каком их взаимном расположении справедливо равенство:.
С-14. Зная, что ,,,, вычислить.
С-15. Какой угол образуют единичные векторы и, если известно, что векторыивзаимно перпендикулярны?
С-16. Найти угол между биссектрисами углов и.
С-17. Следует ли из равенства , где— единичный вектор, равенство векторови? Ответ поясните.