- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Примеры выполнения заданий лабораторной работы
1. Вычислить производную функции , еслиа) (x) = ctg x, (x) = log4x, k = 3, m = 2, n = 2; б) (x) = arc sin x, (x) = 2x5, k = 2, m = 3, n = 1.
Решение.
а) Дано:.
Согласно правилу дифференцирования дроби:
= . Имеем: u(x) = ctg(log4x), v(x) = .
Находим производные u (x) и v (x) согласно правилу дифференцирования сложных функций:
u (x) = ;
v (x) = .
Подставляем функции u(x), v(x) и их производные в формулу производной дроби:
у (х) = =
.
б) Дано: .
Согласно правилу дифференцирования произведения:
у (х) = (u(х)v(х)) = u (х)v(х) + u(х)v (х). Имеем: u(x) = arc sin 2x5, v(x) = .
Находим производные u (x) и v (x) согласно правилу дифференцирования сложных функций:
u (x) = ;
v (x) = .
Подставляем функции u(x), v(x) и их производные в формулу производной произведения:
у (х) = .
Ответ: а) у (х) = ;
б) у (х) = .
2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = в точкеx = , где r = 3, = – 13, = 5.
Решение.
Дано: . Уравнение касательной к графику функцииу = у(х) в точке М(х0; у0), где y0 = y(x0): y = y0 + у'(х0)(x – x0). Уравнение нормали к графику функции у = у(х) в точке М(х0; у0): y = y0 –(x – x0).
Поскольку х0 = 5, то получаем = 1/2.
Находим производную =, т.е.у (5) = 49/260.
Записываем уравнение касательной к кривой у = у(х) в точке М(5; 1/2): y = 0,5 + (x – 5); записываем уравнение нормали в точке М(5; 1/2): y = 0,5 – (x – 5).
Ответ: y = 0,5 + (x – 5) – уравнение касательной;
y = 0,5 – (x – 5) – уравнение нормали.
3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точкеМ(х(t0); y(t0)), где x(t) = 5 – 2ctg t, y(t) = 1 + cos 2t , t0 = /4.
Решение.
Дано: Уравнение касательной к графику функцииу = у(х) в точке М(х0; у0), где x0 = x(t0), y0 = y(t0): y = y0 + у'(х0)(x – x0). Уравнение нормали к графику функции у = у(х) в точке М(х0; у0): y = y0 –(x – x0).
Поскольку t0 = /4, то получаем: x0 = x(/4) = 5 – 2ctg (/4) = 3, y0 = y(/4) = 1 + cos(/2) = 1.
Находим производную == –sin 2t sin2t, т.е. у (x0) = – sin(/2)sin2(/4) = – 1/2.
Записываем уравнение касательной к кривой у = у(х) в точке М(3; 1): y = 1 – (x – 3), или у = 2,5 – 0,5х; записываем уравнение нормали в точке М(3; 1): y = 1 + 2(x – 3), или y = 2х – 5.
Ответ: y = 2,5 – 0,5x – уравнение касательной;
y = 2x – 5 – уравнение нормали.
4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:а) (x) = x3 – 1, (x) = ln x, a = 1; б) (x) = x2, (x) = е2х, a = + .
Решение.
а) Предел в окрестности точких = 1 имеет неопределенность . Следовательно, для нахождения этого предела можно использовать правило Лопиталя (переход к пределу, определяемому по правилу Лопиталя, будем обозначать как ):
= === 3.
б) Предел имеет неопределенность , следовательно,для нахождения этого предела можно использовать правило Лопиталя:
= = == == 0.
Ответ: а) 3; б) 0.