- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Справочный материал
к 6-й лабораторной работе
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Общее уравнение кривой второго порядка: А∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0, где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причем A + B + C > 0.
Примечание: не всякое уравнение А∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0 представляет уравнение кривой второго порядка.
Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).
Каноническое уравнение окружности
радиуса R уравнение окружности радиуса R
с центром в начале координат): x2 + y2 = R2.
Уравнение окружности радиуса R с
центром в точке (x0; y0):
(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.
Эллипс – множество всех точек M плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с: r1 + r2 = 2a > 2c > 0.
Каноническое уравнение эллипса: ,
где 0 < b < a, точки F1(c; 0) и F2(− c; 0) – фокусы эл-
липса; точки A1(a; 0), A2(− a; 0), B1(b; 0), B2(− b; 0) –
вершины эллипса, отрезок A1A2 длиной 2а – боль-
шая ось, отрезок В1В2 длиной 2b – малая ось эл-
липса; точка О(0; 0) – центр эллипса; длина отрезка
F1F2, равная 2с = 2, – фокусное расстояние.
Гипербола – множество всех точек М плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами 2с: |r1 – r2| = 2а < 2с.
Каноническое уравнение гиперболы:
, где точки F1(c; 0) и F2(−c; 0) –
фокусы гиперболы, точки A1(a; 0), A2(−a; 0)
– вершины гиперболы, точка О(0; 0) – центр
гиперболы, отрезок A1A2 длиной 2a – действи-
тельная ось, отрезок В1В2 длиной 2b – мни-
мая ось гиперболы, длина отрезка F1F2, рав-
ная 2с, – фокусное расстояние, 2c = 2
прямые y = х, y = – х − асимптоты гиперболы; a > 0, b > 0, c > 0. Если a = b, то гипербола называется равносторонней. Гиперболы иилиназываютсясопряженными, они имеют общие асимптоты, ветви гиперболы находятся в верхнем и нижнем секторах этих пересекающихся асимптот и имеют вершины в точкахВ1 и В2, мнимая ось одной гиперболы является действительной для ей сопряженной и наоборот.
Парабола − множество всех точек М плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы).
Каноническое уравнение параболы: y2 = 2px, где p – фокальный параметр параболы; точка О(0; 0) – вершина параболы; точка F(p/ 2; 0) – фокус параболы; прямая x = − p/ 2 – директриса (фокальный параметр р равен расстоянию от фокуса до директрисы, p > 0); ось абсцисс – ось параболы.
Директриса кривой второго порядка (кроме окружности) – прямая, расстояние между которой и любой точкой M на кривой второго порядка пропорционально расстоянию между точкой M и соответствующим фокусом этой кривой.
Примечание: директриса и соответствующий ей фокус для эллипса и гиперболы лежат по одну сторону от центра этих кривых; у эллипса и гиперболы по две директрисы; у окружности нет директрис. Задание директрисы и соответствующего ей фокуса полностью определяет все параметры и расположение эллипса, гиперболы и параболы (для точек на ветвях гиперболы, чтобы не перегружать рисунок, указаны расстояния r и d только до фокуса F1).
эллипс