- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
Теоретический минимум
1. Каноническое уравнение окружности.
2. Каноническое уравнение эллипса.
3. Каноническое уравнение гиперболы.
4. Каноническое уравнение параболы.
5. Асимптоты гиперболы.
6. Фокусы эллипса, гиперболы и параболы.
7. Эксцентриситет кривых 2-го порядка.
8. Директрисы кривых 2-го порядка.
9. Определение типа кривой 2-го порядка по ее общему уравнению.
10. Приведение кривой 2-го порядка к главным осям.
Задания
1. Построить кривые по заданным уравнениям. Указать тип кривой.
№ |
Уравнения кривых 2-го порядка |
№ |
Уравнения кривых 2-го порядка |
1 |
а) (х – 2)2 + (у – 3)2 = 9; б) в) г) у2 = 9х. |
16 |
а) (х – 3)2 + (у – 2)2 = 9; б) в) г) у2 = – 4х. |
2 |
а) (х + 3)2 + (у – 5)2 = 4; б) в) г) у2 = 7х. |
17 |
а) (х – 5)2 + (у + 3)2 = 4; б) в) г) у2 = – 2х. |
3 |
а) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 16; б) в) г) у2 = 5х. |
18 |
а) (х + 1)2 + (у + 1)2 = 16; б) в) г) у2 = – 6х. |
4 |
а) (х – 3)2 + (у + 4)2 = 25; б) в) г) у2 = 16х. |
19 |
а) (х + 4)2 + (у – 3)2 = 25; б) в) г) у2 = – х. |
5 |
а) (х + 3)2 + (у + 3)2 = 4; б) в) г) у2 = 3х. |
20 |
а) (х – 3)2 + (у – 3)2 = 4; б) в) г) у2 = – 8х. |
6 |
а) (х – 1)2 + (у + 1)2 = 1; б) в) г) у2 = 4х. |
21 |
а) (х + 1)2 + (у – 1)2 = 16; б) в) г) х2 = 9у. |
7 |
а) (х + 2)2 + (у – 1)2 = 9; б) в) г) у2 = 2х. |
22 |
а) (х – 1)2 + (у + 2)2 = 36; б) в) г) х2 = 7у. |
8 |
а) (х – 4)2 + (у + 2)2 = 49; б) в) г) у2 = 6х. |
23 |
а) (х + 2)2 + (у – 4)2 = 49; б) в) г) х2 = 5у. |
9 |
а) (х + 4)2 + (у – 4)2 = 9; б) в) г) у2 = х. |
24 |
а) (х – 4)2 + (у + 4)2 = 9; б) в) г) х2 = 16у. |
10 |
а) (х – 5)2 + (у + 1)2 = 4; б) в) г) у2 = 8х. |
25 |
а) (х + 1)2 + (у – 5)2 = 4; б) в) г) х2 = 3у. |
11 |
а) (х + 5)2 + (у – 6)2 = 16; б) в) г) у2 = – 9х. |
26 |
а) (х – 6)2 + (у + 5)2 = 16; б) в) г) х2 = 4у. |
12 |
а) (х – 1)2 + (у + 5)2 = 1; б) в) г) у2 = – 7х. |
27 |
а) (х + 5)2 + (у – 1)2 = 1; б) в) г) х2 = 2у. |
13 |
а) (х + 1)2 + (у – 3)2 = 25; б) в) г) у2 = – 5х. |
28 |
а) (х – 3)2 + (у + 1)2 = 25; б) в) г) х2 = 6у. |
14 |
а) (х – 3)2 + (у – 2)2 = 36; б) в) г) у2 = – 16х. |
29 |
а) (х – 2)2 + (у – 3)2 = 36; б) в) г) х2 = у. |
15 |
а) (х + 2)2 + (у + 4)2 = 49; б) в) г) у2 = – 3х. |
30 |
а) (х + 4)2 + (у + 2)2 = 49; б) в) г) х2 = 8у. |
2. Определить тип кривой второго порядка по ее общему уравнению, привести это уравнение к главным осям и построить соответствующую кривую. Определить координаты вершин и фокусов кривой, записать уравнения директрис и асимптот, если они есть. Вычислить эксцентриситет кривой.
№ |
Уравнение |
№ |
Уравнение |
1 |
4х2 + у2 – 8х + 4у = 0 |
16 |
4х2 – у2 + 16х – 2у + 15 = 0 |
2 |
9х2 – 4у2 + 54х + 8у + 41 = 0 |
17 |
х2 + 25у2 + 4х – 150у + 204 = 0 |
3 |
2х2 + 3у2 + 12х – 6у + 15 = 0 |
18 |
4х2 – 9у2 + 16х + 54у – 101 = 0 |
4 |
4х2 – у2 + 8х – 2у + 3 = 0 |
19 |
3х2 + 2у2 + 12х – 16у + 38 = 0 |
5 |
9х2 + 16у2 + 36х – 64у – 44 = 0 |
20 |
9х2 – 16у2 – 36х – 64у – 172 = 0 |
6 |
4х2 – 25у2 + 8х – 10у + 4 = 0 |
21 |
4х2 + 9у2 + 32х – 16у + 37 = 0 |
7 |
9х2 + 4у2 + 36х – 8у + 36 = 0 |
22 |
9х2 – 4у2 – 18х – 16у – 43 = 0 |
8 |
х2 – 4у2 + 10х + 24у – 7 = 0 |
23 |
4х2 + у2 – 8х + 4у + 24 = 0 |
9 |
9х2 + 4у2 + 36х – 8у + 36 = 0 |
24 |
4х2 – у2 – 16х – 6у + 11 = 0 |
10 |
х2 – 4у2 + 6х + 8у + 5 = 0 |
25 |
х2 + 4у2 + 10х – 24у + 57 = 0 |
11 |
2х2 + 3у2 + 8х – 6у + 5 = 0 |
26 |
х2 – 4у2 + 6х + 8у + 21 = 0 |
12 |
9х2 – 4у2 + 36х + 8у + 68 = 0 |
27 |
4х2 + 9у2 + 32х – 18у + 109 = 0 |
13 |
4х2 + 9у2 – 32х + 36у + 64 = 0 |
28 |
5х2 + 3у2 – 10х + 12у + 17 = 0 |
14 |
4х2 – у2 – 8х – 4у – 16 = 0 |
29 |
9х2 – 16у2 – 54х – 64у – 127 = 0 |
15 |
9х2 + 4у2 + 18х – 8у – 23 = 0 |
30 |
4х2 + 9у2 – 40х + 36у + 100 = 0 |
Решить задачи:
№ |
Задачи |
1 |
Составить уравнение радиуса окружности х2 + у2 + 4х + 2у – 32 = 0, проведенного в точку А(4; − 2) на ней. |
2 |
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Оx, если расстояние между его фокусами 16, а эксцентриситет равен 1/2. |
3 |
Найти эксцентриситет гиперболы . |
4 |
Составить уравнение оси параболы у2 – 6у – 12х – 15 = 0. |
5 |
Составить уравнение директрисы параболы х2 – 4х – 16у + 52 = 0. |
6 |
Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 – 4х – 6у + 8 = 0, проведенной в точке А(3; 5) на ней. |
7 |
Найти эксцентриситет эллипса . |
8 |
Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, если расстояние между ее фокусами равно 20, а уравнение ее асимптот y = ± . |
9 |
Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 7) и В(5; − 1) и имеющей центр на оси Оу. |
10 |
Найти уравнение кривой на плоскости, отношение расстояний каждой точки которой от точки А(3; 0) и от прямой x = 12 равно λ = 1/2. |
11 |
Составить уравнение радиуса окружности х2 + у2 + 4х + 2у – 21 = 0, проведенного в точку А(3; − 2) на ней. |
12 |
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Оx, если расстояние между его фокусами равно 12, а эксцентриситет равен 0,3. |
13 |
Найти эксцентриситет гиперболы . |
14 |
Составить уравнение гиперболы, если уравнение ее асимптот y = ± х и она проходит через точку (9; 3). |
15 |
Составить уравнение параболы, фокус которой лежит в начале координат, а директриса задана уравнением y = 4. |
16 |
Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 – 2х + 4у – 13 = 0, проведенной в точке А(– 2; 1) на ней. |
17 |
Составить уравнение окружности, диаметром которой является общая хорда окружностей: х2 + у2 – 4х – 2у – 15 = 0, х2 + у2 + 6х + 18у – 55 = 0. |
18 |
Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, если расстояние между ее фокусами равно 40, а уравнение ее асимптот y = ± . |
19 |
Составить уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, проходящей через точки (− 6; −), (6; 4). |
20 |
Составить уравнение кривой на плоскости, каждая точка которой равноудалена от прямой y = − 2 и от точки А(− 3; 4). |
21 |
Отрезок прямой 5x − 4y + 40 = 0, содержащийся между осями координат, служит диаметром окружности. Составить уравнение этой окружности. |
22 |
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, проходящего через точки (; 2), (2;). |
23 |
Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Oy, если гипербола проходит через точку (−; −). |
24 |
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, если он проходит через точки А(6; 4) и В(4; ). |
25 |
Составить уравнение директрисы параболы х2 + 8х – 28у + 44 = 0. |
26 |
Составить уравнение окружности, проходящей через точку с координатами А(− 5; 6), и концентрической по отношению к окружности х2 + у2 – 2х + 6у – 87 = 0. |
27 |
Найти эксцентриситет эллипса . |
28 |
Составить уравнение оси параболы х2 + 2х – 20у – 79 = 0. |
29 |
Составить уравнение директрисы параболы у2 – 4у + 8х – 12 = 0. |
30 |
Найти эксцентриситет гиперболы . |