Запишем уравнения статики для отрезка балки длиной X, находящегося под действием постоянного изгибающего моментаMи нормальных напряжений σ. Нужно записать шесть уравнений статики

∑х = 0, ∑у = 0, ∑z = 0,

∑M_x = 0, ∑M_y = 0, ∑M_z = 0.

Из них три дают тождество 0 = 0. Остаются три уравнения

∑х = 0, ∑M_y = 0, ∑M_z = 0.

Запишем их по порядку, подставляя σ по формуле (5.13).

. (5.14)

Поскольку , , а это статический момент сечения относительно нейтральной линии.

. (5.15)

.

Рис.5.16

По той же причине, что и в предыдущем уравнении . Это другая геометрическая характеристика сечения – центробежный момент инерции

. (5.16)

На основании равенства (5.15) заключаем, что ось z – нейтральная линия сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения. Равенство (5.16) показывает, что оси y и z – главные центральные оси сечения. Этим определяется положение нейтральной линии сечения.

Таким образом, если силовая линия совпадает с одной из главных центральных осей сечения, то изгиб будет плоским и нейтральная линия сечения совпадает с другой главной центральной осью.

Из третьего уравнения (5.13) определим радиус кривизны нейтрального слоя.

.

Вспомнив, что , представляет собой момент инерции сечения относительно оси z, можем последнюю формулу записать в виде

. (5.17)

Наконец, подставив формулу (5.17) в выражение (5.13), получим формулу для нормального напряжения при чистом изгибе

. (5.18)

Формула (5.17) в приведённом выводе была вспомогательной, однако она имеет и большое самостоятельное значение. Её можно трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя 1/ρ) с действующим изгибающим моментом.

Произведение EJ носит название жёсткости сечения при изгибе и имеет размерность кНсм².

Рис.5.17

Формула (5.18) показывает, что величина σ линейно возрастает по мере удаления от нейтральной линии (рис.5.17). При этом напряжения постоянны по ширине сечения. При изменении знака изгибающего момента поменяется и знак напряжений (верхние волокна окажутся растянутыми, нижние – сжатыми).

5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений

Наибольшей величины σ_max напряжения достигают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в случае симметрии сечения относительно горизонтальной оси z при y = ± h/2 (рис.5.17). Подставляя это значение в формулу (5.18), получим

Отношение обозначается W и называется осевым моментом сопротивления. Момент сопротивления имеет размерность см³ и характеризует прочность балки при изгибе, для сечения произвольной формы находится по формуле (см. п. 3.7)

. (5.19)

Таким образом, для материалов, имеющих одинаковую прочность на растяжение и сжатие, условие прочности при чистом изгибе имеет следующий вид

. (5.20)

Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы о рациональной форме сечения при изгибе. В отличие от растяжения при изгибе напряжения в сечении распределяются неравномерно. Материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях экономии его и снижения веса конструкции следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной линии (рис.5.18,а). Наиболее близки к идеальному тонкостенные профили – двутавр (рис.5.18,б), швеллер (рис.5.18,в), коробка (рис.5.18,г).Совершенно не рационален круглый профиль, т.к. большая часть материла находится у нейтральной линии.

а б в г

Рис.5.18

Тем не менее в машиностроении широко применяются круглые стержни – это валы и оси, которые по конструктивным или технологическим соображениям невозможно сделать другого профиля.

В случаях применения материалов, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, железобетона или чугуна), имеет смысл использовать несимметричный профиль, у которого нейтральная линия смещена по отношению к середине высоты сечения и напряжения в крайних волокнах не одинаковы (рис.5.19). Такой профиль называется тавром, его моменты сопротивления будут

и . (5.21)

Рис.5.19