Наглядным примером может служить поведение тяжёлого шарика, лежащего на различных поверхностях (рис.4.2). Если шарик лежит на вогнутой цилиндрической поверхности (рис.4.2, а), то при любом малом отклонении он стремится вернуться в исходное состояние, следовательно, равновесие шарика устойчивое. Если шарик лежит на плоскости (рис.4.2, б), то при малом отклонении он остаётся в новом положении, следовательно, равновесие шарика безразличное. Наконец, если попытаться установить шарик на выпуклую цилиндрическую поверхность (рис.4.2, в), он обязательно скатится – равновесие неустойчивое.

а б в

Рис.4.2

Шарик иллюстрирует поведение сжатого стержня (рис.4.3). По мере роста силы можно отметить три характерные ситуации в зависимости от значения силы:Р₁ < Р_кр, Р₂ = Р_криР₃ > Р_кр. Р_кр– критическая сила.

а б в

Рис.4.3

Если Р < Р_кр, то отклоняя стержень какой-либо силой и затем устраняя её, возбуждаем затухающее колебательное движение около первоначального прямолинейного положения – устойчива прямолинейная форма равновесия (рис.4.3,а). Чем ближеРкР_кр, тем легче отклонить стержень от его прямолинейного положения и тем медленнее он возвращается в исходное положение. ПриР = Р_крстержень оказывается в состоянии безразличного равновесия (рис.4.3,б). Это означает, что наряду с прямолинейной становится возможной и бесконечно близкая к ней искривлённая форма равновесия. Возникновение безразличного состояния равновесия рассматриваем как потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия. ПриР > Р_кр(рис.4.3,в) становится устойчивой криволинейная форма равновесия. Это явление называют ещё продольным изгибом.

Продольный изгиб опасен тем, что происходит быстрое нарастание прогиба при малом нарастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов приводит к быстрому нарастанию напряжений от изгиба и к разрушению. Продольный изгиб (потеря устойчивости) – это катастрофа для конструкции.

История техники знает немало случаев крушения сооружений из-за неправильного расчёта их элементов на устойчивость. Например, крушение Квебекского моста через реку Святого Лаврентия в 1907 г. – погибли 74 человека, 9000 тонн металлоконструкций пришло в негодность.

Потеря устойчивости как явление природы отличается большим многообразием (рис.4.4). Цилиндрическая оболочка под действием сжимающего гидростатического давления (рис.4.4,а) при q > q_кр сплющивается и превращается в эллипс.

На рис.4.4,б показана высокая балка, испытывающая изгиб в вертикальной плоскости (плоский изгиб). По достижении силой критического значения плоская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение – балка опрокидывается.

а б в г

Рис.4.4

На рис.4.4,в показана пологая мембрана под действием силы Р, приложенной навстречу выпуклости. По достижении силой значенияР_крпроисходит потеря устойчивости – мгновенное прощёлкивание мембраны, выпуклость её оказывается обращённой в сторону, противоположную первоначальному направлению. Новая форма устойчивого равновесия не является смежной, есть конечная разница в прогибах, соответствующих им.

Ещё один случай – потеря устойчивости под действием следящей силы (рис.4.4,г): при любой деформации стержня сила направлена вдоль касательной к его оси («следит» за деформацией). Обычно сила не меняет направление (рис.4.1,б). Можно сказать, что это расчётная схема ракеты или торпеды. По достижении силой критического значения прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает – система переходит в состояние колебательного движения с возрастающей амплитудой.

Ниже рассмотрим самую простую и в то же время самую распространённую в технике задачу об устойчивости прямолинейных сжатых стержней.

4.2. Определение критической силы методом Эйлера

Из сказанного в п.4.1 следует, что при расчёте устойчивости самым важным является определение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости. Может также представлять интерес полное описание закритического поведения.

Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Наиболее универсальным является динамический метод, основанный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако подавляющее большинство инженерных задач может быть решено более простым статическим методом, предложенным великим Л.Эйлером в 1744 г.

По определению Эйлера, критической силой называется «сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны». Рассмотрим шарнирно-опёртый центрально-сжатый стержень постоянного сечения в слегка изогнутом состоянии (рис.4.5,а).

а б

Рис.4.5

Предполагая, что деформация стержня упругая (напряжения не превышают предел пропорциональности), можно воспользоваться приближённым дифференциальным уравнением (1.4) изогнутой оси:

, (4.1)

где J_min– наименьший момент инерции стержня, так как очевидно, что изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости.

Изгибающий момент в произвольном сечении (рис.4.5,б)

|М| = Р_крυ.

Учитывая, что знаки момента и второй производной прогиба противоположны при любом направлении оси υ, получим

,

или

. (4.2)

Введём обозначение

, (4.3)

и запишем уравнение (4.2) следующим образом:

. (4.4)

Мы получили однородное линейное дифференциальное уравнение, общий интеграл которого известен:

υ = A sin kx + B cos kx. (4.5)

Постоянные интегрирования АиВдолжны удовлетворять граничным условиям:

• при х = 0υ = 0;

• при х = ℓυ = 0.

Из первого условия

0 = A sin 0 + B cos 0 = B ∙1, т.е.В = 0.

Из второго условия

0 = A sin kℓ.

Это условие выполняется в двух случаях: А = 0илиsin kℓ = 0. Первый случай нас не интересует, так как приА = 0стержень остаётся прямолинейным. Криволинейная форма равновесия возможна приsin kℓ = 0.

Корни этого уравнения

kℓ = 0, π, 2π, 3π, 4π… (4.6)

Наименьшее значение критической силы будет при kℓ = π. Таким образом,

. (4.7)

Подставим (4.7) в (4.3) и получим формулу Эйлера

. (4.8)

Выражение (4.6) фактически даёт не одно, а множество значений критической силы. Каждой силе соответствует своя форма равновесия (рис.4.6):

, (4.9)

где n= 1, 2, 3, 4…

При первой критической силе стержень изгибается по одной полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно номеру критической силы. Потеря устойчивости в форме двух или более полуволн синусоиды возможна только в случае установки в соответствующих местах стержня ограничителей перемещения.

Рис.4.6

4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня

Чтобы получить значение критической силы для стержней с иным закреплением концов, чем у стержня в п.4.2, необходимо провести своё решение аналогично тому, как это сделано для шарнирно-опёртого стержня. Можно обойтись без аналитического решения и определить критическую силу из чисто геометрических соображений.

Так, например, стержень с одним защемлённым концом изгибается по кривой, представляющей собой половину полуволны синусоиды для шарнирно-опёртого стержня (рис.4.7,а).

а б в

Рис.4.7

Для стержня с одним заделанным и другим шарнирно-опёртым концами (рис.4.7,б) длина полуволны синусоиды, замеренная между шарнирной опорой и точкой перегиба изогнутой оси, составит 0,7 длины стержня.

Для стержня с двумя заделанными концами (рис.4.7,в) длина полуволны синусоиды, замеренная между двумя точками перегиба, составит половину длины стержня.

Для всех случаев, рассмотренных выше, критическую силу можно определять по обобщённой формуле Эйлера

, (4.10)

где ℓ₀ = μℓ– приведённая длина;

μ– коэффициент приведения длины;

ℓ – фактическая длина стержня.

Приведённая длина может быть истолкована как длина некоторого виртуального шарнирно-опёртого стержня, критическая сила для которого равна критической силе для заданного стержня.

Коэффициент приведения длины определяем по рис.4.7 или по табл.4.1, в которой стержни расположены по мере возрастания жёсткости опор.

Таблица 4.1