16. Картографическая проекция Гаусса
В проекции
Гаусса вся поверхность Земли условно
разделена на 60 зон меридианами,
проведенными через 6o; форма зоны –
сферический двуугольник (рис.1.9); счет
зон ведется от Гринвичского меридиана
на восток. Средний меридиан зоны
называется осевым; долгота осевого
меридиана L0 любой зоны в восточном
полушарии подсчитывается по формуле:
L0=6o*n – 3o (1.7)
а в западном – по формуле:
L0=360o – (6o*n – 3o),
где n – номер зоны.
Рис.1.9 Рис.1.10
Представим себе, что земной эллипсоид вписан в эллиптический цилиндр. Ось цилиндра расположена в плоскости экватора и проходит через центр эллипсоида (рис.1.10). Цилиндр касается эллипсоида по осевому меридиану данной зоны. Вся поверхность зоны проектируется на поверхность цилиндра нормалями к эллипсоиду так, что изображение малого участка на цилиндре подобно соответствующему участку на эллипсоиде. Такая проекция называется конформной или равноугольной; в ней углы не искажаются, а длины линий искажаются по закону:
где: ΔS – величина искажения линии,
S – длина линии на эллипсоиде,
Y – удаление линии от осевого меридиана,
 
Для территории нашей страны искажения длин линий находятся в допустимых пределах для карт масштабов 1/10000 и мельче; для карт масштаба 1/5000 и крупнее приходится применять трехградусные зоны Гаусса.
Поверхность цилиндра разрезается и развертывается на плоскости; при этом осевой меридиан и экватор изображаются в виде двух взаимно перпендикулярных прямых линий. В точку их пересечения помещают начало прямоугольных координат зоны. За ось OX принимают изображение осевого меридиана зоны (положительное направление оси OX – на север), за ось OY принимают изображение экватора (положительное направление оси OY – на восток). При координате Y впереди пишут номер зоны; для исключения ее отрицательных значений условились, что в начале координат значение координаты Y равно 500 км.
Проекция Гаусса-Крюгера — поперечная цилиндрическая равноугольная картографическая проекция, разработанная немецкими учёными Гауссом и Крюгером. Применение этой проекции даёт возможность практически без существенных искажений изобразить довольно значительные участки земной поверхности и, что очень важно, построить на этой территории систему плоских прямоугольных координат. Эта система является наиболее простой и удобной при проведении инженерных и топографо-геодезических работ[
В результате исследований было установлено, что оптимальные размеры территории изображения должны ограничиваться меридианами, отстоящими друг от друга на 6° (хотя в принятой в Германии первоначальной версии этой проекции меридианы отстоят на 3°). Эта фигура получила название сфероидального двуугольника. Его размеры: 180° по широте (от полюса до полюса), и 6° по долготе. Несмотря на то, что площадь зоны в проекции (зоны Гаусса) будет увеличенной, относительные искажения длин в отдалённых от среднего меридиана точках экватора на границе зоны составит 1/800. Максимальные искажения длин в пределах зоны составляет +0,14 %, а площадей — +0,27 %, а в пределах России — ещё меньше (примерно 1/1400). Таким образом, искажения длин и площадей в пределах зоны меньше, чем искажения, возникающие при печати карты за счёт деформации бумаги. Изображение зоны в проекции Гаусса практически не имеет искажений и допускает любые карто- и морфометрические работы.
Метод проецирования: Поперечная цилиндрическая проекция с центральным меридианом, расположенным в конкретном регионе. В системе координат Гаусса-Крюгера поверхность Земли разделена на 60 зон шириной шесть градусов, и центральный меридиан первой зоны – 177° ЗД. Проецирование осуществляется в каждой зоне отдельно на цилиндр, ось которого поворачивается в плоскости экватора на 6 градусов от зоны к зоне. Коэффициент масштаба равен 1,000, а не 0,9996, в отличие от UTM. В некоторых странах к 500 000-метровому сдвигу по Y прибавляется число, которое равно номеру зоны. Зона 5 системы координат Гаусса-Крюгера может иметь значения сдвига по оси X – 500 000 метров или 5 500 000 метров.
Линии контакта: Любой меридиан для касательной проекции. (Гаусса-Крюгера). Две линии на одинаковом расстоянии от центрального меридиана для секущей проекции (Поперечной проекции Меркатора).
Для определения положения точек в плоской прямоугольной геодезической системе координат используют горизонтальную координатную плоскость ХОУ (рис. 10), образованную двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Одну из них принимают за ось абсцисс X, другую – за ось ординат Y, точку пересечения осей О – за начало координат.
Рис. 10. Плоская прямоугольная система координат
Изучаемые точки проектируют с математической поверхности Земли на координатную плоскость ХОУ. Так как сферическая поверхность не может быть спроектирована на плоскость без искажений (без разрывов и складок), то при построении плоской проекции математической поверхности Земли принимается неизбежность данных искажений, но при этом их величины должным образом ограничивают. Для этого применяется равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера (проекция названа по имени немецких ученых, предложивших данную проекцию и разработавших формулы для её применения в геодезии), в которой математическая поверхность Земли проектируется на плоскость по участкам – зонам, на которые вся земная поверхность делится меридианами через 6° или 3°, начиная с начального меридиана (рис. 11).
Рис. 11. Деление математической поверхности Земли на шестиградусные зоны
В пределах
каждой зоны строится своя прямоугольная
система координат. С этой целью все
точки данной зоны проецируются на
поверхность цилиндра (рис. 12, а), ось
которого находится в плоскости экватора
Земли, а его поверхность касается
поверхности Земли вдоль среднего
меридиана зоны, называемого осевым. При
этом соблюдается условие сохранения
подобия фигур на земле и в проекции при
малых размерах этих фигур.
Рис. 12. Равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера (а) и зональная система координат (б):
1 – зона, 2 – осевой (средний) меридиан зоны, 3 – проекция экватора на поверхность цилиндра, 4 – экватор,
5 – ось абсцисс – проекция осевого меридиана, 6 – ось ординат – проекция экватора
После проектирования точек зоны на цилиндр, он развертывается на плоскость, на которой изображение проекции осевого меридиана и соответствующего участка экватора будет представлена в виде двух взаимно перпендикулярных прямых (рис. 12, б). Точка пересечения их принимается за начало зональной плоской прямоугольной системы координат, изображение северного направления осевого меридиана – за положительную ось абсцисс, а изображение восточного направления экватора – за положительное направление оси ординат.
Для всех точек на территории нашей страны абсциссы имеют положительное значение. Чтобы ординаты точек также были только положительными, в каждой зоне ординату начала координат принимают равной 500 км (рис. 12, б). Таким образом, точки, расположенные к западу от осевого меридиана, имеют ординаты меньше 500 км, а к востоку – больше 500 км. Эти ординаты называют преобразованными.
На границах зон в пределах широт от 30° до 70° относительные ошибки, происходящие от искажения длин линий в этой проекции, колеблются от 1 : 1000 до 1 : 6000. Когда такие ошибки недопустимы, прибегают к трехградусным зонам.
На картах,
составленных в равноугольной
картографической проекции Гаусса –
Крюгера, искажения длин в различных
точках проекции различны, но по разным
направлениям, выходящим из одной и той
же точки, эти искажения будут одинаковы.
Круг весьма малого радиуса, взятый на
уровенной поверхности, изобразится в
этой проекции тоже кругом. Поэтому
говорят, что рассматриваемая проекция
конформна, т. е. сохраняет подобие фигур
на сфере и в проекции при весьма малых
размерах этих фигур. Таким образом,
изображения контуров земной поверхности
в этой проекции весьма близки к тем,
которые получаются.
Четверти прямоугольной системы координат нумеруются. Их счет идет по ходу стрелки от положительного направления оси абсцисс (рис.13).
Рис. 13. Четверти прямоугольной системы координат
Если за начало плоской прямоугольной системы координат принять произвольную точку, то она будет называться относительной или условной.
Полярные координаты
При выполнении съемочных и разбивочных геодезических работ часто применяют полярную систему координат (рис.14). Она состоит из полюса О и полярной оси ОР, в качестве которых принимается прямая с известным началом и направлением.
Рис. 14. Полярная система координат
Для определения положения точек в данной системе используют линейно-угловые координаты: угол β, отсчитываемый по часовой стрелке от полярной оси ОР до направления на горизонтальную проекцию точки А', и полярное расстояние r от полюса системы О до проекции А'.
Геоцентрическая
система координат
На рис. 4.3 изображен эллипс (меридиональное сечение эллипсоида), наблюдатель находится в точке , а - точка эллипсоида такая, что есть нормаль к эллипсоиду.
Рис. 4.3. Определение геоцентрических и геодезических координат
Координаты точки можно задать в виде :
а) геоцентрических экваториальных прямоугольных координат: ;
б) геоцентрической широты, долготы и расстояния: ;
в) геодезической широты, долготы и высоты: .