ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

Лабораторна робота №8

Тема: Парна нелінійна регресія.

Мета роботи: Навчитися будувати та обчислювати параметри нелінійної регресії 1 МНК засобами MS Excel.

Приклад розв’язування задачі

На основі статистичних даних факторів Y та Х, знайти оцінки коефіцієнтів регресії, в припущенні, що стохастична залежність між факторами Y та Х має вигляд:

та за критерієм Фішера на рівні значимості 0,95 оцінити адекватність одержаної моделі статистичним даним.

На основі критерію Стьюдента оцінити значущість коефіцієнтів а₁ та а₀.

Якщо отримана модель відповідає статистичним даним, то знайти прогнозне значення (точковий та інтервальний прогнози), значення коефіцієнту еластичності.

На основі отриманої моделі зробити висновки.

Вихідні дані та перетворення наведені в таблиці 8.1.

Побудувати графіки вихідних даних, точкового та інтервального прогнозів для точки при n=11.

Таблиця 8.1. Вихідні дані та перетворення

i	Xі	Yі	X1і	Ypі
1	2	3	4	5
1	2,39	1,22	1,545962	1,584010
2	16,83	4,36	4,102438	4,272927
3	13,44	3,82	3,666061	3,813942
4	8,56	3,61	2,925748	3,035277
5	12,81	3,52	3,579106	3,722483
6	19,45	4,56	4,410215	4,596649
7	26,82	5,25	5,178803	5,405054
8	18,45	4,42	4,295346	4,475829
9	12,52	4,05	3,538361	3,679627
10	15,39	3,86	3,923009	4,084202
Прогноз	24,05		4,904080	5,116099

Розв’язування. Зведемо дану функцію до лінійної. Для цього виконаємо перетворення: . Результати запишемо у стовпець 4. У підсумку отримаємо звичайну лінійну регресію:

Далі застосуємо регресійний аналіз (функція ЛИНЕЙН) до наступних змінних: Х₁ та Y. Отримаємо наступні параметри лінійної регресії:

а1	1,0518	-0,0420	а0
Sа1	0,1032	0,3952	Sа0
R2	0,9285	0,3015	E
F	103,8614	8	n-k
S2рег	9,4432	0,7274	S2зал

Тобто, в результаті обчислень, ми отримали наступну економетричну модель:

.

Перевіримо її на достовірність. Для цього, порівняємо одержане значення критерію Фішера з табличним на рівні значимості 0,95 та степенях свободи m₁=1 та m₂=8:

F_таб=5,3177.

Так як F > F_таб, то отримана модель достовірна з ймовірністю 0,95. Оскільки R²=0,9285, то це значить, що 92,85% вихідних даних відповідають отриманій регресії, а коефіцієнт кореляції R=0,9636. Це говорить про тісний зв’язок між факторами Х та Y.

Перевіримо на достовірність коефіцієнти моделі. для цього обчислимо критерії Стьюдента для кожного з них та порівняємо їх з табличним значенням критерію Стьюдента на рівні значимості 0,95 та числу степенів свободи n-k=8.

t_таб=2,3060; t(a₁)=10,191; t(a₀)=0,1064.

Так як , то коефіцієнта₁ достовірний з ймовірністю 0,95.

Так як , то коефіцієнта₀ статистично не відрізняється від нуля.

Знайдемо прогнозне значення фактора Y в прогнозній точці, тобто в точці Х=24,05. Оскільки ми специфікували регресію функцією , то наша прогнозна точка будеХ₁=4,904. У таблиці 8.1 у стовпці 5 наведені розрахункові (теоретичне) значення отриманої регресії. Ми бачимо, що прогнозне значення Y=5,116.

Обчислимо 95% надійний інтервал для прогнозного значення (інтервальний прогноз). Методика обчислення була дана в лабораторній роботі №6, а тому приводимо лише значення:

Y_min=4,334; Y_max=5,898

Коефіцієнт еластичності k=0,505

Висновки:

1. Оскільки , то отримана нами економетрична модель достовірна з ймовірністю 0,95. Так як R²=0,9285, то 92,85% вихідних даних підпорядковуються обраній регресії .

2. Коефіцієнт а₁ достовірний з ймовірністю 0,95, оскільки ; коефіцієнта₀ статистично дорівнює 0, так як . Так яка₁=1,0518, то це значить, що при збільшенні фактора Х на 1 у.о. фактор Y збільшиться на 1,0518 у.о.

3. Прогнозне значення фактора Y буде дорівнювати Y_пр=5,116. З ймовірністю 0,95 воно буде знаходитися в межах від 4,434 до 5,898.

4. Коефіцієнт еластичності k=0,505 показує, що при зміні фактора Х на 1% фактор Y в середньому буде змінюватися на 0,505%.

5. Так як отримана модель однофакторна, то можна побудувати графік залежності між факторами Х та Y, а також на цьому ж графіку показати розрахункові точки отриманої регресії.