toe

5. Определяем комплексный ток в ветви с емкостным сопротивлением: I&C =U&Y C =100e j0 j0,04 = j4 = 4e j90o А. В этой формуле действующее

значение тока IС = 4 A соответствует искомому показанию амперметра АC.

6. Проверку решения осуществляем по 1-му закону Кирхгофа, составленному для узла (а) цепи: I& = I&R + I&C = 3 + j4 = 5e j53o А. Полученная

сумма соответствует току цепи I&, найденному выше иным способом. Таким образом, можно считать, что задача решена верно.

7.Векторная диаграмма цепи, построенная на комплексной плоскости, показана на рис.4.9,б и наглядно поясняет аналитическое решение.

8.Записываем синусоиды токов ветвей, используя результаты решения

примера 4.9: i = 5 2 sin(ωt + 53o ) А; iR = 3 2 sin ωt А; iC = 4 2 sin(ωt + 90o ) А.

Заметим, что условия данного примера и полученные результаты тождественны примеру (3.9), рассчитанному с помощью векторной диаграммы.

Вариант решения через сопротивления ветвей.

Вариант решения с помощью первого закона Кирхгофа.

Предоставляем читателю возможность проделать все вычисления для последних двух вариантов решений и убедиться в том, что результаты расчетов всех трех вариантов совпадают между собой.

4.8. Расчет разветвленных цепей с одним источником энергии

Расчетные формулы цепей синусоидального тока со смешанным

соединением R, L, C и одним источником энергии представлены в табл.4.4 позициями 4 и 5 .

Пример 4.14. К цепи с последовательно-параллельным соединением R, L, C (рис.4.10,а) приложено синусоидальное напряжение частотой f = 150 Гц и действующим значением U = 100 В. Параметры цепи известны: R = 1 Ом;

L = 1,06 мГн; С = 531 мкФ.

Требуется определить показания всех электромагнитных амперметров и вольтметров, включенных в цепь; построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости.

Решение. 1. Определяем комплексное сопротивление всех трех ветвей цепи. В соответствии с табл.4.2 имеем

Z R = R =1 Ом; Z L = jX L = jωL = j942 1,06 10−3 = j1 Ом;

Экспериментальное исследование разветвленной цепи синусоидального тока с одним источником энергии проводится в лабораторной работе № 2 [8].

80

эквивалентной последовательной цепи, схема которой представлена в табл.3.2,

поз.1; если исходную цепь заменить на эквивалентную, то U& и I& на ее зажимах останутся неизменными.

3. Определяем комплексный ток цепи в соответствии с формулой (4.2)

В этой формуле начальную фазу напряжения ψu , не заданную в условии

задачи, приняли (для простоты расчетов) равной нулю, так как от ее величины результат решения не зависит. Действующее значение тока I1 = 100 А, что соответствует показанию амперметра А1 .

Способ разделения вещественной и мнимой частей комплексной дроби изложен в примере 4.6.

81

4. Для определения комплексных токов I&2 и I&3 предварительно находим комплексное напряжение U&23 . В соответствии со вторым законом Кирхгофа для левого контура цепи, выбрав направление его обхода по часовой стрелке,

Модули комплексных напряжений U&1 и U&23 ( их действующие значения)

U1 = 100 B и U23 = 89 B определяют показания вольтметров V1 и V23 .

5. Находим комплексные токи в активном и емкостном сопротивлениях

Модули комплексных токов I&2 и I&3 (то есть их действующие значения

I2 = 89 A, I3 = 44,5 A ) определяют показания амперметров А2 и А3 .

6. Проверку решения осуществляем, используя 1-й закон Кирхгофа для узла (а) цепи: I&1 = I&2 + I&3 = (40 − j80) + (40 + j20) = (80 − j60) А. Полученное

значение совпадает с результатом п.3 данного примера, и поэтому расчеты произведены верно.

7. Векторная диаграмма цепи, построенная на комплексной плоскости и показанная на рис.4.10,б, является графическим подтверждением правильности аналитического решения.

Пример 4.15. К цепи с параллельно-последовательным соединением RLC (рис.4.11,а) приложено синусоидальное напряжение, действующее значение которого U = 100 B. Сопротивления цепи известны: R = 1 Ом; XL = 1 Ом; XC = 2 Ом. Требуется определить показания электромагнитных амперметров и вольтметров, включенных в цепь, и построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости.

Решение. Исследуемая цепь состоит из двух параллельно включенных ветвей. Рассчитаем ее, используя комплексные проводимости ветвей.

1. Комплексная проводимость левой ветви

Способ разделения вещественной и мнимой частей комплексной дроби изложен в примере 4.6.

82

I&3

bРис.4.11

2.Комплексная проводимость правой ветви

Здесь 0,2=GЭ См; 0,6=bЭ См. Знак (−) перед символом (j) указывает на индуктивный характер цепи.

Заметим, что GЭ и bЭ представляют собой проводимости эквивалентной параллельной цепи, схема которой представлена позицией 1 в табл.3.3; если

исходную цепь заменить на эквивалентную, то U& и I& на зажимах цепи останутся неизменными.

4. Определяем комплексные токи во всех ветвях цепи:

а) общий ток I&1 =U&Y Э =100e j0 0,63e− j71o = 63e− j71o = (20 − j60) А;

б) ток в левой ветви I&2 =U&Y 1 =100 (0,2 + j0,4) = (20 + j40) = 45e+ j63o А;

в) ток в правой ветви I&3 =U&Y 2 =100 (− j1) = − j100 =100e− j90o А.

В этих формулах начальная фаза напряжения принята равной нулю (ψu=0). 5. Проверку расчетов осуществляем с помощью 1-го закона Кирхгофа,

записанного для узла (а) цепи I&1 = I&2 + I&3 = (20 + j40) + (− j100) = (20 − j60) А. Эта величина совпадает с найденным ранее значением тока I&1 иным способом,

что свидетельствует о правильности решения.

6. Определяем показания амперметров А1 , А2 и А3.

83

Электромагнитные амперметры регистрируют действующее значение синусоидального тока, поэтому их показания соответствуют модулям соответствующих комплексных токов: I1 = 63 А; I2 = 45 A; I3 = 100 A.

7. Определяем напряжения U&R и U&C , используя формулу (4.2) закона Ома:

8. Определяем показания вольтметров VR и VC.

Электромагнитные вольтметры фиксируют действующие значения синусоидальных напряжений, поэтому их показания соответствуют модулям соответствующих комплексных напряжений: UR = 45 B; UC = 89 B, при этом

U= U R2 +U X2 =100 В.

9.Векторная диаграмма цепи, построенная на комплексной плоскости, показана на рис.4.11,б и графически подтверждает правильность аналитического решения.

4.9. Резонансные явления в разветвленных цепях

Понятия о резонансе напряжений и резонансе токов рассмотрены в главе 3 (3.11 и 3.13 ). Теперь дадим общее определение резонанса и сформулируем условия его возникновения.

Резонансом называется такой режим работы электрической цепи, при котором ток и напряжение этой цепи совпадают по фазе, несмотря на наличие в ней индуктивностей и емкостей. Таким образом, при этом режиме угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю и цепь ведет себя как чисто активная

Если цепь состоит из последовательного соединения R, L, C (рис.3.9,а) или путем эквивалентных преобразований может быть сведена к последовательной (пример 4.14), то из общего условия резонанса, следует, что

(пример 4.15), то из общего условия резонанса следует, что при резонансе в такой цепи в соответствии с формулой (3.30)

т.е. реактивная проводимость всей цепи равна нулю.

Условия (4.7), (4.8) и (4.9) позволяют найти резонансное уравнение цепи, устанавливающее связь между параметрами цепи и частотой, при которой в ней возможен резонанс.

Если исследуемая цепь путем преобразований приводится к последовательной, то следует найти комплексное сопротивление

84

Z Э = RЭ + jХЭ и приравнять его мнимую часть к нулю. Если же исследуемая цепь путем преобразований приводится к параллельной, то следует найти ее

преобразования цепей, изложенные ниже в 4.10.

Пример 4.16. Определить резонансное уравнение для цепи с последовательно-параллельным соединением R, L, С (рис.4.10,а).

Решение. Данная цепь путем эквивалентных преобразований приводится к последовательной цепи, поэтому условием резонанса является соотношение (4.8). Для определения реактивного сопротивления ХЭ всей цепи следует найти комплексное сопротивление этой цепи и приравнять ее мнимую часть к нулю.

Сокращаем левую и правую часть уравнения на ω≠0. Затем приводим дробь к общему знаменателю и приравниваем числитель к нулю, так как если числитель равен нулю, то и вся дробь равна нулю. В результате получаем резонансное уравнение, выраженное через параметры R, L, С и частоту ω

частота этой цепи не соответствует формулам (3.25) и (3.32). Она зависит не только от L и С, но также и от величины R. Очевидно, что если L / CR 2 ≥1 (ρ>R), то резонанс в исследуемой цепи невозможен, поскольку ω0 есть вещественное положительное число.

Пример 4.17. Определить резонансное уравнение для цепи с параллельно-последовательным соединением R, L, С (рис.4.11,а).

85

Решение. Данная цепь путем эквивалентных преобразований приводится к параллельной цепи, поэтому условием резонанса здесь является соотношение (4.9). Для нахождения реактивной проводимости цепи следует определить комплексную проводимость этой цепи и приравнять к нулю ее мнимую часть. Выражение для Y Э в общем виде найдено в примере 4.15. Приравнивая к нулю

реактивную проводимость цепи, получаем резонансное уравнение, выраженное через сопротивления всех ветвей цепи

bЭ = R2 X+CX C2 − X1L = 0.

Для определения связи между параметрами цепи и частотой, используем соотношенияX L = ωL , X C =1ωC и получаем