toe

Это есть резонансное уравнение исследуемой цепи. Если, в частности,

параметры L и C известны, то резонансная частота определяется соотношением .

При резонансе токов ток цепи минимален. Если при этом оказывается, что bL0 = bC0 > G, то IL0 = IC0 > I, т.е. токи в индуктивности и емкости при резонансе больше общего тока цепи.

Резонанс токов широко используется в электроэнергетике. Электросети всех промышленных предприятий представляют собой цепи с активноиндуктивной нагрузкой (двигатели, трансформаторы, дроссели). Для улучшения их работы параллельно этим цепям подключают батареи конденсаторов, подбирая их емкость так, чтобы угол сдвига фаз ϕ между напряжением и током цепи был близок к нулю.

3.14. Мощность цепи синусоидального тока

Электрическая мощность в цепи синусоидального тока определяется как произведение действующего значения напряжения (U) на действующее значение тока (I) для каждого из ее элементов и для цепи в целом. Ее физическая размерность – вольт-ампер (ВА). Различают три вида мощности: активную (P), реактивную (Q) и полную (S).

Мощность в активных сопротивлениях цепи называется активной (Р). Она характеризует скорость преобразования электромагнитной энергии в тепловую энергию и механическую работу и измеряется в ваттах (Вт).

Мощность в реактивных сопротивлениях цепи, называется реактивной (Q) и измеряется (для ее отличия от активной мощности) в вольт-амперах реактивных (вар). Она характеризует скорость изменения запаса энергии в электрическом и магнитном полях цепи и не связана с преобразованием энергии электромагнитного поля в тепловую энергию.

Мощность на зажимах всей цепи, состоящей из различных комбинаций соединений R, L и C, называется полной мощностью (S) и измеряется в вольтамперах (ВА). Она характеризует скорость поступления электрической энергии

вданную цепь.

Втабл.3.4 дана сводка формул для расчета активной, реактивной и полной мощностей всех цепей, рассмотренных в данной главе.

Заметим, что активная Р, реактивная Q и полная S мощности соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Такой прямоугольник показан в табл.3.4, поз.6. Для цепи с последовательным соединением R, L, C его

легко получить, если все стороны треугольника напряжений (рис.3.9,в)

Формулы для определения резонансной частоты цепей с параллельным и последовательным соединением R, L, C одинаковы .

50

умножить на действующее значение тока I цепи. Для цепи с параллельным соединением RLC треугольник мощностей получается, если все стороны треугольника токов (рис.3.12,в) умножить на действующее значение U приложенного напряжения.

3.15.Понятие о коэффициенте мощности и коэффициенте полезного действия

51

В энергетике широко распространено понятие о коэффициенте мощности цепи, под которым понимают отношение ее активной мощности Р к полной S. В соответствии с табл.3.4, поз.6 имеем

Этот коэффициент показывает, какая доля полной мощности преобразуется в тепло и другие виды энергии. Энергетики стремятся эту долю свести к единице, т.е. иметь P = S или cos ϕ = 1, при котором угол ϕ сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю. Иначе говоря, наиболее эффективным режимом работы цепи является резонанс токов. С этой целью на зажимы заводских и районных подстанций подключают батареи конденсаторов, подбирая их емкость так, чтобы в цепи имел место резонанс. Энергетики называют такие действия компенсацией реактивной мощности.

Не следует путать коэффициент мощности (cosϕ) и коэффициент полезного действия (η ) электроустановок. Коэффициент мощности показывает, какая доля полной мощности S источника преобразуется в активную мощность, а коэффициент полезного действия показывает, насколько эта активная мощность эффективно используется в конкретных электрических установках, например в электродвигателях.

Известно (рис.3.15), что мощность (РВЫХ), которую электродвигатель развивает на валу меньше потребляемой из сети активной мощности (РВХ) за счет внутренних потерь (∆Р) на нагрев обмоток и сердечников, трение в подшипниках, работу вентилятора.

РВХ

РВЫХ

∆Р

корпус эл.двиг. вал муфта

Рис.3.15

Коэффициент полезного действия электротехнической установки - это отношение активной мощности на ее выходе к активной мощности на входе. Измеряется он в относительных единицах (или в процентах) и всегда меньше

Коэффициент полезного действия мощных электродвигателей достигает 80% и более.

3.16. Примеры анализа и расчета цепей синусоидального тока с использованием векторных диаграмм

Пример 3.4. В цепи с последовательным соединением R, L и C (рис.3.9,а) известны действующие значения напряжений на всех трех ее элементах: UR =

52

80 B; UL = 100 B; UC = 40 B. Требуется определить действующее значение напряжения U всей цепи.

Решение. В соответствии с формулой (3.20) имеем

U = U R2 + (U L −U C )2 = 802 + (100 − 40)2 =100 В.

Пример 3.5. Даны пять схем (рис.3.16) электрических цепей и пять векторных диаграмм. Указать для каждой из схем ее векторную диаграмму.

Решение. В соответствии с таблицами 3.1 и 3.2 имеем

1 → IV 2 → V 3 → I 4 → III 5 → II

Пример 3.6. На зажимах двухполюсника (рис.3.17,а) действуют синусоидальные ток и напряжение, график изменения которых во времени показан на рис. 3.17,б.

Рис.3.17

Требуется определить угол сдвига фаз между напряжением и током, характер цепи, показания электромагнитных амперметра и вольтметра.

Решение. Из графика на рис.3.17 видно, что ток опережает напряжение по фазе (его максимум наступает раньше) и при этом ψi = +30o , а ψu = −30o .

53

Угол сдвига фаз ϕ = ψu − ψi = (−30°) − (+30°) = −60°< 90° , поэтому цепь имеет активно-емкостной характер (ток опережает напряжение по фазе).

Для указанной цепи амплитуды тока и напряжения, взятые непосредственно из графика (с учетом принятых масштабов), составляют Im = 3 A и Um = 50 B . Их действующие значения определяются в соответствии с

Пример 3.7. Для цепи с последовательным соединением R и L (табл.3.2, поз.1) известно действующее значение приложенного напряжения U = 100 B и параметры последовательно соединенных элементов: R = 6 Ом; L = 2,55 мГн. Требуется определить действующее значение тока цепи и действующие значения напряжений на R и L, если частота цепи f = 500 Гц.

Решение. 1. Угловая частота цепи ω = 2πf = 6,28 500 =3140 1/c.

2. Индуктивное сопротивление цепи XL = ωL = 3140 2,55 10-3 = 8 Ом.

6.Напряжение на индуктивном сопротивлении UX = IX = 10 8 = 80 B.

7.Проверку осуществляем в соответствии с формулой (3.20)

U = U R2 +U X2 = 602 + 802 =100 В, что совпадает с напряжением цепи,

заданным в условии примера. Таким образом, расчеты произведены верно. Пример 3.8. Для цепи с параллельным соединением R, L, C (рис.3.12,а)

известны действующие значения токов всех ветвей: IR =3 A; IL = 9 A; IC = 5 A. Требуется определить действующее значение тока всей цепи.

Решение. В соответствии с формулой (3.26) получаем

I = I R2 + (I L − IC )2 = 32 + (9 − 5)2 = 5 А.

Пример 3.9. В цепи с параллельным соединением R и C (табл.3.3, поз.2) известно приложенное напряжение U = 100 B и параметры параллельных ветвей: R = 3,33 Ом и С = 25,4 мкФ. Требуется определить действующие значения общего тока и токов в параллельных ветвях при частоте f = 250 Гц.

Решение. 1. Определяем угловую частоту: ω = 2πf = 6,28 250 =1570 1/c.

2.Определяем активную проводимость цепи: G =1R = 0,03 См.

3.Определяем емкостную проводимость: bC = ωC =1570 25,4 10-6= 0,04 См.

5.Общий ток цепи I = U y = 100 0,05 = 5 A.

6.Ток в активном сопротивлении IR = UG = 100 0,03= 3 A.

7.Ток в реактивном сопротивлении IX = UbC = 100 0,04 = 4 A. Проверку решения осуществляем, используя формулу (3.26)

I = I R2 + I X2 = 32 + 42 = 5 А .

54

Полученный результат совпадает со значением тока I, найденным выше иным способом. Поэтому все расчеты выполнены правильно.

Заметим , что возможен и другой путь решения: вначале находим токи ветвей цепи IR = UG и IX = UbC , а затем находим общий ток I = I R2 + I X2 .

Предоставляем студенту возможность провести такое решение самостоятельно.

Пример 3.10. Дана цепь с последовательным соединением двух емкостей (табл.3.2, поз.6). Известно, что С1 = 2 мкФ и С2 = 3 мкФ. Требуется определить емкость СЭ всей цепи.

Решение. При последовательном соединении емкостей реактивное

Пример 3.11. Дана цепь с параллельным соединением L и C (табл.3.3, поз.3). Известна величина индуктивности L = 0,796 мГн. Требуется определить величину емкости С , при которой цепь не пропустит через себя ток с частотой f = 1000 Гц.

Решение. Цепь с параллельным соединением L и C (поз.3 в табл.3.3) обладает нулевой проводимостью при резонансе токов. Воспользовавшись резонансным уравнением этой цепи в соответствии с формулой (3.31),

Пример 3.12. Цепь с последовательным соединением R и XL (рис.3.18) была подключена к источнику постоянного напряжения с ЭДС Е1 = 120 В (контакты 1) и ток цепи составил I1 = 4 А. Затем цепь была переключена на источник синусоидального напряжения с действующим значением ЭДС Е2 = 120 В (контакты 2) и частотой f = 150 Гц. При этом действующее значение тока оказалось равным I2 = 2,4 А. Определить сопротивления R и XL цепи.

Решение. При подключении цепи к постоянной ЭДС Е1 в ней действует только сопротивление R (2.1): R = E1 I1 =1204 = 30 Ом. При подключении

цепи к источнику синусоидального напряжения в цепи действует как активное

При относительно низких частотах активное сопротивление цепи равно ее сопротивлению постоянному току.

55

Переключатель

(табл.3.2, поз.3). Известна величина емкости С = 15,92 мкФ. Требуется найти такую величину индуктивности L, при которой цепь пропускает ток с частотой f = 2000 Гц без сопротивления.

Заметим, что рассмотренная в этом примере цепь является составной частью многих электрических фильтров.

Пример 3.15. К цепи с последовательным соединением R, L и C (рис.3.9,а) приложено синусоидальное напряжение с частотой f = 50 Гц и действующим значением U = 380 В. Сопротивление цепи R = 5 Ом, индуктивность цепи L = 31,9 мГн. Требуется найти величину емкости С для получения резонанса напряжений и определить, будет ли при таком резонансе перенапряжение на индуктивности.

Решение. 1. Находим величину емкости для получения резонанса, воспользовавшись формулой (3.24),

56

ω2 L (314)2 31,9 10−3

2.Емкостное и индуктивное сопротивления цепи при резонансе XC =XL = =ω L = 314 31,9 10-3 = 10 Ом.

3.Действующее значение тока цепи при резонансе I = U R = 380 5=76 А.

Пример 3.16. Цепь с параллельным соединением R и L (модель промышленного предприятия) подключена к цепи синусоидального тока с частотой f = 50 Гц (рис.3.19,а). Показания амперметра, вольтметра и ваттметра известны: U = 220 В; I = 100 А; P = 11 кВт. Требуется определить емкость батареи конденсаторов, которую надо подключить параллельно указанной цепи для достижения резонансов токов.

а) б)

совпадающую по фазе с вектором U и индуктивную IL , отстающую от U на 90°. Для достижения резонанса необходимо так подобрать емкость батареи конденсаторов, чтобы действующее значение тока этой батареи IC было бы равно действующему значению индуктивной составляющей IL общего тока I:

IC = IL = I cosα = I sin ϕ = I sin60° = 100 0,87 = 87 A.

При этих условиях сопротивление батареи конденсаторов синусоидальному току: X C =U IC = 220 87 = 2,53 Ом. Тогда емкость батареи

конденсаторов при резонансе токов

57

Пример 3.17. Дана цепь с последовательно-параллельным соединением R, L и C (рис.3.20,а). Сопротивления всех элементов цепи известны: R = 40 Ом; XC = 30 Ом; XL = 30 Ом. Известны также показания вольтметра электромагнитной системы, включенного между узлами 1 и 2 : U23 = 120 B.

Требуется определить показания всех остальных измерительных приборов электромагнитной системы, включенных в цепь.

Решение. 1. При известном действующем значении напряжения на параллельном участке цепи, действующие значения токов в активном и

величина соответствует показанию амперметра А1.

3.Действующее значение напряжения U1 на индуктивности L : U1 = IXL = 5 30 = 150 B. Оно соответствует показанию вольтметра V1.

4.Для определения показания вольтметра V необходимо рассчитать действующее значение напряжения всей цепи U. Его можно найти, используя второй закон Кирхгофа для левого контура цепи в векторной форме записи: U

U 1 + U23 − U = 0 или U = U1+ U23 . Длина вектора U, т.е. действующее значение этого напряжения и будет являться показанием вольтметра V.

Для определения величины U нельзя применить теорему Пифагора, поскольку треугольник напряжений не является прямоугольным. Надо построить (в выбранном масштабе) векторную диаграмму цепи (рис.3.20,б) и

58