toe

а) i1

Рис.6.2

Рис.6.3

Здесь в каждой из катушек индуцируется одновременно две электродвижущие cилы: ЭДС самоиндукции и ЭДС взаимоиндукции. Поэтому напряжения u1 и u2 каждой индуктивно связанной катушки имеют две

составляющие: одна из них (u L ) вызвана действием ЭДС самоиндукции, а другая (uM ) вызвана действием ЭДС взаимной индукции

В формулах (6.2) и (6.3) знаки (+) или (−) у вторых составляющих напряжений зависят от взаимного направления магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции в катушках.

Знак (+) берется в том случае, когда потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению. Такое соединение катушек называется согласным включением. Если потоки самоиндукции и взаимной индукции не совпадают по направлению, то берется знак (−) и такое соединение катушек называется встречным включением.

На рис.6.4 показаны примеры согласного и встречного включения двух индуктивно связанных катушек.

120

связанных катушках (табл.4.3 и вытекающие из нее соответствия), получаем

соответствует согласному включению катушек, а знак (−) – встречному включению.

Способ включения индуктивно связанных катушек определяется для каждой конкретной цепи экспериментально и указывается на ее схеме путем маркировки ”начал” катушек либо в виде жирных точек (знак •), либо в виде звездочек (знак ). При этом действует следующее правило: если токи в катушках направлены относительно “начал” в одну сторону, то включение катушек является согласным, а если в разные стороны - встречным.

На рис.6.6 дано несколько примеров согласного и встречного включения индуктивно связанных катушек, в зависимости от маркировки их ”начал” и принятого в них направления комплексных токов.

121

Рис.6.6

6.2. Цепь с последовательным соединением двух индуктивно связанных катушек

Для цепи с последовательным соединением двух индуктивно-связанных катушек (рис.6.7) известны их параметры R1 L1 R2 L2 , взаимная индуктивность

M, частота ω сети и комплексное напряжение U& . Требуется определить комплексный ток цепи I& при согласном и встречном включении катушек .

Решение. В соответствии со 2-м законом Кирхгофа имеем U& =U&1 +U&2 ,

где U&1 = (R1 + jωL1 )I& ± jωMI&; U&2 = (R2 + jωL2 )I& ± jωMI&.

Тогда U& =U&1 +U&2 = [(R1 + R2 ) + jω(L1 + L2 ± 2M )]I& = Z ЭI&. Здесь Z Э = (R1 + R2 ) + jω(L1 + L2 ± 2M ) = Rэ + jωLЭ.

Анализ Z Э показывает, что его величина зависит от способа включения катушек. При согласном включении Z Э = (R1 + R2 ) + jω(L1 + L2 + 2M ) , а при

Экспериментальное исследование цепи с последовательным соединением индуктивно связанных катушек проводится в лабораторной работе № 5 [ 8].

122

В электротехнической литературе для характеристики магнитной связи двух любых катушек используется коэффициент магнитной связи

Пример 6.1. Для цепи с последовательным соединением двух индуктивно связанных катушек (рис.6.7) известны их сопротивления и действующее значение приложенного напряжения: X1 =20 Ом; X2 =30 Ом, X M =5 Ом,

R1 = R2 =0, U =120 B. Требуется определить ток цепи, а также действующие

значения напряжений на каждой из катушек при согласном и встречном их включении.

Рис.6.7

Решение. При отсутствии в цепи активных сопротивлений задачу можно решить, пользуясь только модулями комплексных токов, напряжений и сопротивлений.

При согласном включении (указано на схеме знаками •): а) полное сопротивление цепи zЭсогл = X1 + X 2 + 2X M = 20 + 30 + 10 = 60 Ом; б) действующее значение тока I согл =U zЭсогл =120/60=2 A; в) действующее

значение напряжения на 1-й катушке: U1 = I соглz1согл = I согл ( X1 + X M ) =2 25 = 50B, где z1согл = (X1 + X M ) ; г) действующее значение напряжения на 2-й

катушке:U 2 = I соглz2согл = I согл (X 2 + X M )=2 35=70B, где z2согл = (X 2 + X M ) .

При встречном включении: а) zЭвстр = X1 + X 2 − 2X M =20+30-10=40 Ом;

б) I встр =U zЭвстр =120/40=3 A; в)U1 = I встрz1встр = I встр ( X1 − X М ) =3 15= 45 B;

д) U 2 = I встрz2встр = I встр ( X 2 − X M ) =3 25=75 B. Здесь z1встр = ( X1 − X М ) , z2встр = ( X 2 − X M ) .

Пример 6.2. В цепи с последовательным соединением двух идеальных ( R1 = R2 =0) индуктивно связанных катушек (рис.6.7) при неизменном

действующем значении приложенного напряжении U=120B измерили действующее значение тока при согласном ( I согл=2A) и при встречном

( I встр=6A) включении этих катушек. Требуется определить величину

сопротивления взаимной индуктивности М этих катушек.

Решение. 1. Сопротивление цепи при согласном включении катушек

2. Сопротивление цепи при встречном включении катушек

Решаем эту систему уравнений с помощью теории определителей:

где знак (-) соответствует уже согласному включению катушек, а знак (+) их встречному включению;

в) второй дополнительный определитель ∆2 , который образуется из главного заменой второго столбца свободными членами уравнений:

где также знак (−) соответствует согласному включению катушек, а знак (+) – встречному включению. Токи в катушках

напряжений токов и сопротивлений, не применяя символического метода. При этих условиях получаем

Подставляя численные значения известных величин, находим

10 = 3I1 − I2 .10 = −I1 + 2I2

125

6.4. Цепь с трансформаторной связью между катушками

Такая цепь представлена на рис.6.9, у которой катушки не имеют друг с другом проводниковых соединений. Известны параметры обеих катушек R1, R2 , L1, L2 , их взаимная индуктивность M, частота ω и комплексное

напряжение U&1 . Требуется определить комплексные токи I&1, I&2 катушек при согласном и встречном их включении.

Рис.6.9

Решение. 1. Составляем уравнения для левого и правого контуров цепи в соответствии с формулами (6.4) и получаем

В этих уравнениях знак (+) у составляющих вида jωMI& соответствует согласному включению катушек, а знак (−) – встречному включению. Заметим , что в уравнениях (6.7) Z Н I&2 =U&2 .

Заметим, что знак (−) в числителе I&2 соответствует согласному

включению катушек, а знак (+) − встречному.

Пример 6.4. В цепи с трансформаторной связью двух идеальных (без активных сопротивлений) катушек индуктивности (рис.6.10) к катушке Х1 приложено синусоидальное напряжение частотой f = 500 Гц, а катушка Х2 разомкнута. Действующее значение тока в катушке Х1 составляет I1 =10A, а

Рис.6.10

Решение. При отсутствии активных сопротивлений катушек ( R1 = R2 = 0 )

уравнения (6.7) можно составить только для модулей токов, напряжений и сопротивлений не применяя символического метода.

С учетом, что правый контур цепи разомкнут ( I2 =0), имеем

U1 = I1X1; 0 = ±I1X M +U2 ,

где Х1 = ωL1 , X М = ωМ.

127

6.5. Разветвленная цепь при наличии взаимных индуктивностей между катушками

В цепи (рис.6.11) с последовательно-параллельным соединением трех

комплексное действующее значение приложенного напряжения U& . Известна также маркировка “начал” всех трех индуктивно связанных катушек, показанная знаком ( •). Требуется определить комплексные действующие

значения токов во всех трех ветвях цепи ( I&1 , I&2 , I&3 ).

б

Рис.6.11

Решение. Расчет разветвленных электрических цепей при наличии в их составе катушек с взаимной индуктивностью проводят, используя непосредственно 1-й и 2-й законы Кирхгофа, или методом контурных токов. Метод узловых напряжений для расчета таких цепей не пригоден.

1). Составим систему уравнений для определения токов во всех цепях цепи методом контурных токов. Для этого предварительно выбираем в

качестве независимых контуры I и II цепи, направления токов I&1 , I&2 , I&3 во всех ее ветвях и направления контурных токов I&I и I&II , как это показано на схеме.

Составляем систему уравнений по методу контурных токов для цепи с двумя независимыми контурами по образцу уравнений (5.5):

Наличие индуктивных связей между катушками учитывается здесь при составлении собственных ( Z 11 , Z 22 ) и взаимных ( Z 12 = Z 21 ) сопротивлений

независимых контуров цепи.

128

При нахождении собственных сопротивлений Z 11 и Z 22 независимых

контуров цепи учитываются только те индуктивные связи, которые имеются внутри данного независимого контура в виде удвоенных сопротивлений взаимной индуктивности. Это следует делать потому, что контурный ток в каждой из двух индуктивно связанных катушек наводит сопротивления взаимной индукции вида jωM , которые суммируются друг с другом (по

аналогии с последовательным соединением двух индуктивно связанных катушек):

Z 11 = (R1 + jωL1 ) + (R2 + jωL2 ) + 2 jωM12 ; Z 22 = (R2 + jωL2 ) + (R3 + jωL3 ) − 2 jωM 23 .

При учёте знаков сопротивлений взаимной индукции вида jωM

пользуемся общим правилом, изложенным в 6.1.

В уравнении для Z 11 знак (+) у последнего члена принят потому, контурный ток I&I направлен относительно начал (знак •) катушек L1 и L2 в

одну и ту же сторону − от начала каждой катушки к ее концу. Это означает, что катушки L1 и L2 включены согласно. В уравнении для Z 22 знак (−) у

последнего члена принят потому, что контурный ток I&II направлен относительно начал (знак •) катушек L2 и L3 в разные стороны, − в катушке L2 он направлен от её конца к началу, а в катушке L3 от её начала к концу. Это означает, что катушки L2 и L3 включены встречно.

При нахождении взаимных сопротивлений Z12 = Z21 следует перечислить

взаимной индукции jωM13 между катушкой L1 первого контура и катушкой L3 второго контура цепи; в) сопротивление взаимной индуктивности jωM12 между катушкой L1 первого контура и катушкой L2 второго контура цепи; г) сопротивление jωM 23 между катушкой L2 первого контура цепи и катушкой L3 второго контура. Заметим здесь, что катушка L2 принадлежит к ветви,

общей для двух смежных контуров, и поэтому при рассмотрении индуктивной связи M12 ее соотносят ко второму контуру, а при рассмотрении индуктивной

связи М23 ее относят к первому контуру; все сопротивления взаимной индуктивности берутся здесь без удвоения их величины (по аналогии с параллельным соединением двух индуктивно связанных катушек).

С учётом выше сказанного взаимное сопротивление двух смежных контуров имеет вид