Примечание

Рассмотрим предикат P(x), определенный на множестве ,M содержит конечное число элементов.

Если P(x) – тождественно истинный предикат, то истинны высказывания .

Тогда истинными будут высказывания и конъюнкцияn высказываний . Таким образом, справедлива равносильность:

.

Аналогично доказывается, что справедлива равносильность

.

Отсюда следует, что кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции.

§ 7. Численные кванторы

В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере n», («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n» («ровно n», «точно n»), где n – натуральное число.

Рассмотрим случай n = 1.

1. Предложение «По меньшей мере один объект обладает свойством P» имеет тот же смысл, что и предложение «Существует объект, обладающий свойством P», т.е.:

2. Предложение «не более чем один объект обладает свойством P» равнозначно по смыслу предложению «Если есть объекты, обладающие свойством Р, то они совпадают»:

3. Предложение «Один и только один объект обладает свойством Р» равнозначно конъюнкции высказываний (1) и (2):

Сопоставление одноместному предикату P(x) высказывания (3) носит название операции связывания квантором существования и единственности, а само высказывание (3) иногда обозначают так:

(4)

Символ называют квантором существования и единственности по переменнойx.

Например, используя этот квантор, запишем, высказывание: «Всякая сходящаяся последовательность имеет точно один предел»:

Рассмотрим случай n = 2.

1. Предложение «По меньшей мере два объекта обладают свойством Р», т.е.:

2. Предложение «Не более чем два объекта обладают свойством Р» равносильно по смыслу предложению «Каковы бы ни были объекты x, y, z, если они все обладают свойством Р, то по меньшей мере два из них совпадают», т.е.:

3. Предложение “Два и только два объекта обладают свойством Р» совпадают с конъюнкцией высказываний (5) и (6).

Ограниченные кванторы

1. В математической практике имеем оборот следующего вида: «Всякий объект, обладающий свойством Р, обладает также и свойством Q». Он равнозначен по смыслу высказыванию «Всякий объект, если он обладает свойством Р, то он обладает свойством Q». На языке логики предикатов записывается так: (7)

Сопоставление двум данным одноместным предикатам P(x) и Q(x) высказывания (7) носит название операции связывания ограниченным квантором общности. Высказывание (7) иногда обозначают (8)

Символ называют ограниченным квантором общности.

Например, высказывание «Для всякого справедливо».

На языке алгебры предикатов записывается как или– использование ограниченного квантора общности.

2. Второй оборот «Среди объектов, обладающих свойством Р, существует объект, обладающий также и свойством Q» равнозначно по смыслу высказыванию «Существует объект, обладающий свойством Р и обладающий свойством Q», которое на языке алгебры предикатов записывается так: (9)

Сопоставление двум одноместным предикатам P(x) и Q(x) высказывания (9) носит название операции связывания ограниченным квантором существования, а само высказывание (9) обозначается так: (10)

Символ       называют ограниченным квантором существования.