ЛабРаб-6
.doc1. Эрмитовы кубические сплайны
Пусть на сетке заданы значения .
Определение. Эрмитовым кубическим сплайном называют функцию , удовлетворяющую условиям:
-
, для ,
-
, (т.е. непрерывны и во внутренних узлах),
-
, , .
Эрмитовы сплайны являются локальными. Для их вычисления на отрезке достаточно использовать третье условие определения: , , , , , тогда на отрезке можно записать: , где , .
2. Кубические нелокальные сплайны
Пусть на сетке заданы , .
Определение. Функция называется кубическим сплайном, интерполирующим функцию в узлах сетки , если выполняются следующие условия:
-
, для ,
-
, (т.е. непрерывны , , во всех внутренних узлах),
-
, .
Легко показать, что этими условиями сплайн определяется неоднозначно, а именно, кубический сплайн, удовлетворяющий данному определению, имеет еще 2 свободных параметра. На каждом из N отрезков сплайн определяется 4-мя коэффициентами, итого, на всего коэффициентов. Условие 2): дает равенств. Условие интерполяции 1) дает соотношение.
Итого: соотношения.
Два недостающих дополнительных условия, как правило, задаются в виде краевых условий, определяющих значение сплайна или его производных на концах отрезка :
-
.
-
.
-
– в этом случае говорят о периодическом сплайне.
-
, .
3. Построение кубического сплайна через наклоны
Кубический сплайн можно рассматривать как Эрмитов сплайн, удовлетворяющий условиям:
, ;
;
.
Вводя обозначение: – наклоны, , по построению:
Имеем систему 2х уравнений с двумя неизвестными ai и bi, решая эту систему
получаем выражение для bi:
и коэффициента ai:
Из 2-ого условия определения кубического сплайна, а именно, непрерывности 2ой производной на , в том числе и в узлах сетки: на ; на .
Обозначим ; отсюда . Имеем систему N – 1 уравнения с N + 1 неизвестным :
.
Следовательно, надо добавить 2 уравнения:
1 краевое условие: , тогда .
2 краевое условие:
3 условие периодичности:
Имеем уравнение при и .
4 краевое условие:
получим
Обозначим .
умножим 1-ое уравнение на и вычтем из второго:
отсюда
Т.о.
обозначим
умножим 1-ое уравнение на , сложим 2-ое с 1-ым, получим:
Имеем:
Итак, в случае краевых условий 4-ого типа имеем:
;
;
.
4. Построение кубического сплайна через моменты
Моментами называются
но
.
Отсюда: , тогда
.
Из условия непрерывности первой производной для в узлах , имеем:
Для полученной замкнутой системы для определения моментов нужно добавить краевые условия:
-
.
;
Отсюда
-
.
-
Периодические условия:
-
, ; .
. Обозначим . Отсюда
.
Первое уравнение системы имеет вид:
.
Умножим 1-ое уравнение на и вычтем из 2-го уравнения:
Итак,
Краевое условие:
. Обозначим .
-ое уравнение системы имеет вид:
.
Умножим 1-ое уравнение на и сложим со 2-ым:
Итак,
5. Дифференцирование и интегрирование кубического сплайна
1. Если сплайн определен через наклоны , то вычисление не представляет труда, т. к.
;
;
;
2. Если сплайн определен через наклоны , то
;
;
;
6 Варианты заданий
Построение сплайна через наклоны
1й тип краевых условий |
2-й тип краевых условий |
4-й тип краевых условий |
|
1 |
9 |
17 |
Задача интерполирования, данные из лаб. раб. 1 |
2 |
10 |
18 |
Задача интегрирования, данные из лаб. раб. 4 |
3 |
11 |
19 |
Задача дифференцирования (первая производная), данные из лаб. раб. 1 |
4 |
12 |
20 |
Задача дифференцирования (вторая производная), данные из лаб. раб. 1 |
Построение сплайна через моменты
1й тип краевых условий |
2-й тип краевых условий |
4-й тип краевых условий |
|
5 |
13 |
21 |
Задача интерполирования, данные из лаб. раб. 1 |
6 |
14 |
22 |
Задача интегрирования, данные из лаб. раб. 4 |
7 |
15 |
23 |
Задача дифференцирования (первая производная), данные из лаб. раб. 1 |
8 |
16 |
24 |
Задача дифференцирования (вторая производная), данные из лаб. раб. 1 |
в поле таблицы номер варианта.