- •Теория вероятностей
- •I. Программа курса «теория вероятностей и математическая статистика»
- •Раздел I. Теория вероятностей.
- •Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Предмет курса.
- •Тема 2. Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы умножения и сложения вероятностей.
- •Тема 3. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
- •Тема 4. Одномерные случайные величины и их характеристики.
- •Тема 5. Многомерные случайные величины и их свойства.
- •Тема 6. Функции случайных величин.
- •Раздел II. Математическая статистика.
- •Тема 11. Элементы математической статистики. Выборочный метод.
- •Тема 12. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Статистические гипотезы.
- •Тема 13. Элементы дисперсионного анализа.
- •Тема 14. Элементы теории регрессии и корреляции.
- •II. Методические указания предмет теории вероятностей
- •Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий s может либо произойти, либо не произойти.
- •Виды случайных событий
- •Операции над событиями
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Элементы комбинаторики
- •I. Перестановки
- •II. Размещения
- •III. Сочетания
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формулы бейеса
- •Повторные независимые испытания. Испытания по схеме бернулли
- •Случайные величины и законы их распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Законы распределения случайных величин
- •Системы двух случайных величин
- •Функция двух случайных аргументов
- •Элементы математической статистики
- •III. Контрольные задания
- •IV. Приложения
- •Элементы комбинаторики
- •Дискретные и непрерывные случайные величины
- •V. Тесты
- •Тема: Виды случайных событий, классическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Тема: Случайные независимые испытания по схеме Бернулли
- •Тема: Одномерные случайные величины
- •VI. Литература
- •Содержание
- •I. Программа курса 4
- •II. Методические указания 6
- •III. Контрольные задания 34
Числовые характеристики случайных величин
При решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и их вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые называют числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратное отклонение, моменты различных порядков, мода, медиана.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
.
Вычислять дисперсию удобно по формуле:
,
где .
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания.
Пример. Найти математическое ожидание , дисперсиюи среднее квадратическое отклонениедискретной случайной величины, закон распределения которой задан в виде таблицы:
Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:
Составим закон распределения :
Найдем математическое ожидание :
.
Подставив в формулу для вычисления дисперсии инайденное ранее, получим:
.
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
.
Начальным моментом порядка k случайной величины называют математическое ожидание величины:
,
где .
В частности, ,.
Центральным моментом порядка k случайной величины называют математическое ожидание величины:
.
В частности, ,.
Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:
Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков.
Решение. Найдем начальный момент первого порядка:
.
Составим закон распределения величины :
-
4
9
16
25
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
Найдем начальный момент второго порядка:
.
Составим закон распределения величины :
-
1
8
27
64
125
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
Найдем начальный момент третьего порядка:
.
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю: .
Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством
,
где –дифференциальная функция.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
.
Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежатвсей оси , определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
,
или .
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:
.
Пример. Случайная величина задана дифференциальной функцией
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Найдем математическое ожидание
.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
.
Учитывая, что , получим
.
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение
.