Длинные линии

В современной радиотехнике , кроме цепей с сосредоточенными параметрами , широкое применения находят устройства , геометрические размеры которых становятся сравнимы с длинной волны , проходящей через них , (например , различные типы линий передачи электромагнитной волны , антенные системы и др.) , поэтому напряжение и ток в таких устройствах будут функциями не только времени , но и координат , а это означает что эл.процессы в этом случае будут описываться волновыми уравнениями . совершенно очевидно , что устройства и цепи в этом случае будут характеризоваться погонными параметрами , поскольку самипараметры будут распределёнными.

Например , два параллельных провода рис96 можно охарактеризовать такими погонными параметрами :

Такая цепь называется длинной линией

- -погонная индуктивность

-погонная ёмкость

-погонное сопротивление потерь

Рис.96

-погонное проводимость утечки

т.е погонные параметры характеризуют единицу длины цепи с распределёнными параметрами .

Представление единицы длины цепи с распределёнными параметрами (рис 96а) эквивалентной схемой (рис 96 б) позволяет применить и в этом случае все законы , справедливые для цепей с сосредоточенными параметрами .

Эквивалентная схема линии конечной длины должна ,evidancetocontinueбесконечное число аналогичных звеньев , соединённых цепочечно .

Если величины не меняются по длине линии её называют однородной ; в противном случае – неоднородной .

Итак поскольку ток и напряжение в линии являются функциями координаты “x” и времени “t”, найдём эти зависимости . Для этого рассмотрим элемент линииdx,удалённой от начала на расстояниех (см.рис.96). Обозначим искомые величины на входе элемента (в(.)х) черезu иiсоответственно . Тогда значения ина входе элемента ( в (.) х+dx) будут

(157)

Если / положим / uиi-непрерывная функцияx , тогда (157) представим так:

(157a)

Ограничиваясь двумя первыми членами разложений, получим

(158)

Пользуясь эквивалентной схемой элемента линии dx(рис96б) получим:

(159)

Второе уравнение из системы (159) можно переписать так:

, поскольку точку включения параллельной ветви можно выбирать произвольно.

Окончательно (158) примет вид:

(160) Телеграфные управления

I. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь

=0; =0)

Это идеализация задачи позволяет раскрыть сущность физических процессов характерных для цепей с распределёнными параметрами.

Уравнения (160) в этом случае приобретают вид:

(161)

Продифференцируем по x иtсистему (161а). Тогда получим

(161а)

Отсюда следует, что функция u удовлетворяет волновому уравнению:

Аналогично для тока где;

Общее решение (162) может быть представлено в виде:

(164)

причём функции иконкретным условием задачи.

Выясним смысл ( ) и( ) из (164) .Рассмотрим вначале функцию. Её значения в один и тот же момент времени зависит отx , но можно подобрать да момента времениидля координатисоответственно так , что будет выполняться равенство

Это справедливо , если ; пусть, тогда

и, наконец, отсюда

(165)

отсюда следует, что постоянное значение функции движется по осиx со скоростью, определяемой из (165) и зависящей от погонных параметров линии. Это свойство функциидаёт основание называть еёволновой функцией иливолной (идущей в право)

Очевидно, что описывает волну идущуювлево (отражённую) . Для тока в линии можно записать аналогичное решение

(166)

Чтобы установить связь между напряжением и током в линии, подставим эти решения в систему (161) , например в первое уравнение:

Это равенство выполняется при любых tиx ,если

Отсюда следует, что

Эти соотношения можно привести к виду:

, где; (167)

Величина называется волновым сопротивлением линии.

Оно в данном случае чисто активно.

Рассмотрим прямую волну. Если напряжение в x=0 равноt, то напряжение и ток вx равны:

где U-амплитуда напряжения переменной волны

-амплитуда тока переменной волны

- волновое число.

Отсюда видно, что текущие фазы (ωt-βx) напряжения и тока приt=Constзависят отxи характеризуется величиной β для данногоx, поэтому β и называется коэффициентом фазы или волновым числом. На длине волны фаза, как известно, меняется на, поэтому;и, т.е.

зависит от L₁C₁. Отсюда видно, что волновой характер процессов в линии будет проявляться слабо, если ее длина много меньше длины волны т.е. если. Следовательно линию можно считать длинной в том случае, если ее длина по крайней мере соизмерима с длиной волны. Что касается расстояния между проводами, образующими линию, то оно выбирается много меньше длины волны.

В теории линий величину электрической длиной.

II Решение телеграфных уравнений для линий с потерями.

Пусть ЭДС генератора синусоидальна, т.е. и, где

U(x) иI(x)-комплексные амплитуды напряжения и тока соответственно.

Подставляя это в уравнение (160) получим:

(168)

Продифференцируем (168) по x:

Решение (169): (171), где(172) называетсяпостоянной распространения.

Для тока из (168) запишем или

(173), гдеравно(174) и

представляет собой волновое сопротивление линии с потерями.Из формул (172) и (174) следует, что в линии с потерямииявляется комплексными:

(175)

Выясним физический смысл ,,. Для этого рассмотрим прямую волну.

(176)

Переходя к мгновенным значениям, и полагая, что начальная фаза в точке x=0равна нулю, получим:

(177)

Отсюда следует, что распространение волны вдоль линии с потерями сопровождается экспоненциальным затуханием амплитуд. Скорость затухания зависит от ,называемое коэффициентом затухания. Коэффициент- волновое число. Уголхарактеризует сдвиг фаз между напряжением и током прямой волны в любой точке x.