Вопросы к экзамену по линейной алгебре и аналитической геометрии I семестр.
1. Матрицы и определители. Вычисление определителей 2 и 3 порядков.
2. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей. Перечислить.
3. Решение систем линейных уравнений методами: Крамера и Гаусса.
4. Решение однородных систем. Пример.
5. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Решение систем матричным способом.
6. Векторы, действия над ними. Т.1, Т2-доказать.
7. Базисы на плоскости и в пространстве. Ортонормированный базис. Координаты вектора.
8. Проекция вектора на ось. Свойства. Связь между координатами вектора и его проекциями
9.Модуль вектора и его направляющие векторы.
10. Радиус вектор точки. Координаты точки. Выражение координат вектора через координаты его концов.
11. Скалярное произведение векторов. Частные случаи. Свойства.
12. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
13. Применение скалярного произведения.
14. Векторное произведение векторов. Частные случаи. Свойства.
15. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
16. Применение векторного произведения.
17. Смешанное произведение трех векторов.
18. Геометрический смысл.
19. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
20. Свойства смешанного произведения, применение.
21. Различные виды уравнений прямой на плоскости, вывести одно. Взаимное расположение прямых. Условие параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.
22. Кривые 2 порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола), канонические уравнения.
23. Директрисы, фокусы, эксцентриситет. Связь между параметрами, построение.
24. Полярные координаты. Уравнения кривых в полярных координатах.
Литература
1. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике».
2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 4-е изд. – М.: Наука, 1980.
3. Бермант А.В., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I, II, III. – М.: Высш. шк., 1980.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высш. шк., 1984.
6. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Высш. шк., 1980.
7. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1978.
Задания для самостоятельной работы
Задачи 1-10
Решить систему уравнений методом Крамера, Гаусса и матричным методом.
|
1. |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
10. |
|
Задачи 11-20
Даны
координаты вершин треугольника ABC:,
,
,
.
Требуется:
-
Вычислить длину стороны ВС;
-
Составить уравнение линии ВС;
-
Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
-
Записать уравнение медианы АМ.
-
Сделать чертеж.
11. А (-4;-4); В (1;5); С (6;1).
12. А (-3;0); В (1;4); С (5;-1).
13. А (-2;-3); В (0;6); С (8;-1).
14. А (-2;1); В (3;4); С (2;-2).
15. А (-5;2); В (2;6); С (8;0).
16. А (-5;-1); В (4;7); С (7;-2).
17. А (-3;2); В (1;5); С (10;3).
18. А (0;-4); В (4;8); С (5;2).
19. А (-4;-1); В (5;8); С (9;-2).
20. А (1;-2); В (7;6); С (-11;3).
В задачах 41-50 построить полученные кривые.
41. Составить уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0,8, а фокальные радиусы одной из его точек равны 2 и 3, полагая, что большая ось эллипса совпадает с осью абсцисс, его центр – с началом координат
42. На
гиперболе
найти точки, расстояние которых от
левого фокуса вдвое меньше, чем от
правого.
43. Найти
параметры параболы
и уравнение ее директрисы, если известно,
что эта парабола проходит через точки
пересечения прямой у=х
с окружностью
.
44. На
эллипсе
найти точки, в которых фокальные радиусы
были бы взаимно перпендикулярны.
45. Фокусы
гиперболы находятся в точках
и
.
Гипербола проходит через точку А(2;0).
Найти уравнения ее асимптот и угол между
ними.
46. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(2;2) и от оси абсцисс.
47. Составить уравнение геометрического места точек, каждая из которых находится вдвое дальше от точки А(3;0). Чем от оси ординат.
48. Составить уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой 3х+16=0 равно 0,6.
49. Составить уравнение геометрического места точек, каждая из которых вдвое ближе к точке А(1;0), чем к точке В(-2;0).
50. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, касающихся оси абсцисс и проходящих через точку А(0;3).