3. Методы выявления основной тенденции развития явления во времени

Основной тенденцией развития (трендом)называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Для выявления основной тенденции развития используются следующие методы:

Метод укрупнения периодов времени. Объединяются несколько уровней ряда, затем рассчитываются средние величины, на основании которых судят о тенденции развития.

Метод скользящей средней. Объединяется определенное число, обычно нечетное, первых по порядку уровней ряда. Затем такое же число уровней начиная со второго, затем начиная с третьего и так далее. Рассчитываются средние величины, на основании которых судят о тенденции развития. Если объединяется нечетное число уровней, то среднее значение записывается году, находящемуся по середине. Если объединяется четное число уровней, то применяется так называемыйспособ центрирования.

Пример 4. Дан динамический ряд товарооборота за несколько лет.

Таблица 6.4

Динамика товарооборота фирмы

Годы	Товарооборот, млн. руб.	Метод укрупнения периодов, млн. руб.	Трехлетние скользящие средние, млн. руб.	Четырехлетние скользящие средние (нецентрирован-ные)	Четырехлетние скользящие средние (центрирован-ные)
2000	40		-		-
2001	54	53	53	52,0	-
2002	66		56	56,0	(52,0+56,0):2=54
2003	48		57	57,5	56,75
2004	56	55	55	58,5	58,00
2005	60		62	62,0	60,25
2006	70		64	69,0	65,50
2007	62	72	72		-
2008	84		-		-

Поскольку каждое следующее среднее значение больше предыдущего, то можно сделать вывод, что в данном ряде динамики тенденция к росту.

Метод аналитического выравнивания. Состоит в выражении тенденции с помощью математического уравнения:

,

где – уровни РД, вычисленные по аналитическому уравнению на момент времениt.

Простейшими моделямиявляются:

линейная функция: ,

где - параметры уравнения ;

t– порядковый номер периода;

парабола: ,

экспонента: .

Линейная зависимостьвыбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные цепные абсолютные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимостьиспользуется, если цепные абсолютные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимостиприменяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т. п.).

Выравнивание может производиться по среднему темпу роста, среднему абсолютному приросту, но наиболее точным является выравнивание методом наименьших квадратов, при котором находят такие параметрыи,и т. д., чтобы выполнялосьусловие: сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) уровней от теоретических должна быть минимальной:

(1)

где y – уровни ряда;

– выровненные значения.

Для линейной модели функцияS=– это функция второго порядка от двух неизвестныхи. Свое наименьшее значение она принимает в точке, где частные производные по параметрамиравны нулю. Согласно этому условие метода наименьших квадратов (1) можно преобразовать и получить следующую систему нормальных уравнений:

Если =0, то из последней системы получаем:

Откуда,

Как сделать, чтобы сумма номеров периодов ровнялась нулю (= 0)? Возможны два случая:

число уровней РД нечетное, тогда будем поступать следующим образом: пусть ряд динамики включает произвольные 5 лет: Год Номер года, t 2004 2005 2006 2007 2008 -2 -1 0 1 2 итого 0

число уровней РД четное, тогда будем поступать следующим образом: пусть ряд динамики включает произвольные 6 лет: Год Номер года, t 2003 2004 2005 2006 2007 2008 -5 -3 -1 1 3 5 Итого 0

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой линии на примере.

Таблица 6.5

Расчетная таблица

Годы	Товарооборот, млн. руб.	Номер года, t
2003 2004 2005 2006 2007 2008	16 18 25 20 23 22	-5 -3 -1 1 3 5	-80 -54 -25 20 69 110	25 9 1 1 9 25	17,81 18,95 20,10 21,24 22,38 23,52	3,276 0,903 24,01 1,538 0,384 2,310
всего	124	0	40	70	124,00	32,421

Расчетные значения из таблицы 1 подставляем в систему нормальных уравнений:

Получили следующее уравнение прямой:

.

По уравнению прямой находим выровненные значения :

…

Для выровненных и исходных уровней должно всегда выполняться условие:

(124 = 124,00).

Изобразим графически исходные уровни РД и уравнение найденной прямой:

Т.к. > 0, то в РД тенденция к росту (товарооборот фирмы за период с 1995 по 2000 гг. в целом увеличивается).

Система нормальных уравнений для параболы, если=0:

Система нормальных уравнений для экспоненты , если=0:

Для выбора наилучшего уравнения, которое бы наиболее точно отражало динамику явления или процесса, можно воспользоваться формулой стандартной ошибки:

,

где m– число параметров уравнения,

или применить критерий наименьшей суммы квадратов отклоненияэмпирических уровней от теоретических .

Из множества возможных уравнений тренда можно выбрать то уравнение, которому соответствует минимальное значение, т. е. критерий наименьших квадратов отклонений, либо использовать формулу средней ошибки аппроксимации:

.

При аналитическом выравнивании может иметь место автокорреляция, под которой понимается зависимость между соседними членами динамического ряда. Автокорреляцию можно установить с помощью перемещения уровня на одну дату. Коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле

где и– соответственно средние квадратические отклонения по рядуи.