Vektory-2
.pdfИзвестно, что
~ |
~ |
(x~az~b |
~ |
~ |
~a b = (y~az~b |
z~ay~b) i |
z~ax~b) j + (x~ay~b |
y~ax~b) k: |
Скалярно умножим этот вектор на вектор ~c и учитывая свойства скалярного произведения, получим
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
~a b ~c = ((y~az~b |
z~ay~b) i |
(x~az~b z~ax~b) j + (x~ay~b y~ax~b) k) |
|||||||||||||||||||||
|
|
(x~c |
~ |
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i + y~c |
j + z~c k) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= (y~az~b z~ay~b) x~c |
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|||||||||
(i; i) (x~az~b z~ax~b) x~c (j; i)+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
+(x~ay~b y~ax~b) x~c |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|||||||||
(k; i) + (y~az~b |
|
z~ay~b) y~c (i; j) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
(x~az~b z~ax~b) y~c (j; j) + (x~ay~b |
y~ax~b) y~c (k; j)+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+(y~az~b z~ay~b) z~c |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
||||||||
|
|
|
|
|
(i; k) (x~az~b z~ax~b) z~c (j; k)+ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(x~ay~b y~ax~b) z~c |
|
~ ~ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
(k; k) = |
9 |
|||||||||||||
|
|
|
(~i;~j) = (~j;~i) = |
~i |
|
~j |
cosj j 90j 0j = 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= > |
|
~ ~ |
|
|
~ ~ |
|
~ ~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
0 |
= 1 |
> = |
|||||
|
|
|
(i; i) = (j; j) = (k; k) = i |
i |
|
cos 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
~ |
~ |
|
|
~ |
~ |
j~j j~j |
|
cos 90 |
0 |
= 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
> |
|
(i; k) = (k; i) = i |
|
k |
|
|
|
|
|
> |
|||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
> |
|
(~j;~k) = (~k;~j) = j~jj j~kj cos 900 = 0 |
|
|
> |
||||||||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
= (y~az~ |
|
z~ay~>) x~c |
|
|
(x~az~ |
|
z~ax~) y~c + (x~ay~ |
|
|
y~ax~) z~c: |
> |
||||||||||||
b |
|
b: |
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ò.å.
~ |
z~ay~b) x~c (x~az~b z~ax~b) y~c + (x~ay~b y~ax~b) z~c; |
~a b ~c = (y~az~b |
это выражение может быть получено при вычислении определителя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
x~a |
y~a |
z~a |
|
|
|
|
|
x~c |
y~c |
z~c |
|||||
|
|
|
~a |
|
b ~c = |
|
x~ |
y~ |
z~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
Свойства смешанного произведения: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
~ |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
: (~a b) ~c = (b ~c) ~a = (~c ~a) b: |
|
|
|
20: При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.
30: Смешанное произведение обращается в нуль, если: а) хотя бы один
из перемножаемых векторов нулевой; б) два из трех векторов коллинеарны; в) три вектора компланарны.
11
40: Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.
50: Объем параллелепипеда равен:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M40 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
M0 |
(x0 |
; y0 |
; z0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
; y3; z3) |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M3(x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(x1; y1; z1) M2(x2; y2; z2)
V |
|
|
= (!1 2 |
!1 3 |
|
1 10) = |
3 |
1 |
3 |
1 |
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M M ; M M ; M!M |
|
|
|
x2 |
x1 |
y2 |
y1 |
z2 |
||||||||||
|
ïàð. |
|
|
|
x0 |
x1 |
y0 |
y1 |
z0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
y |
y |
z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60: Объем призмы равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M0 |
(x0 |
; y0 |
; z0 |
) |
|
|
|
|
S |
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
S M3(x3; y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; z3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M1(x1; y1; z1) |
|
M2(x2; y2; z2) |
|
|
|
|
|
|
|
z1
z1 :
z1
|
призмы |
|
1 |
|
ïàð. |
|
1 |
|
M M |
; M M ; M!M : |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V |
= |
2V |
= |
2 |
|
|||||||
|
|
(!1 2 |
!1 3 1 10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70: Объем пирамиды равен:
12
M10(x01; y10 ; z10 )
JE
E J
J
EE MJ 3(x3; y3; z3)
c Jc J
ccJ
J
c cJ
M1(x1; y1; z1) M2(x2; y2; z2)
|
|
|
|
пирамиды |
|
|
1 |
|
|
ïàð. |
|
1 |
|
M M ; M M |
; M!M : |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= 6V |
= |
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
(!1 2 |
|
!1 3 |
|
1 10) |
|
||||||||||||||
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: Длина высоты параллелепипеда равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vïàð. = Sîñí. h; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
h = Vîñí. |
= |
|
!1 2 |
|
!1 3 |
|
! |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïàð. |
|
|
|
(M M |
; M M ; M |
M0) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
M1M3 |
; M1M2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
! ! |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двойное векторное |
|
произведение: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[~a; [b;~c]] = b (~a;~c) ~c (~a; b): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
~a = fx1; y1; z1g; |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; y3; z3g: |
|
|||||||||
|
|
|
|
b = fx2; y2; z2g; ~c = fx3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
~b ~c = |
~ |
~ |
~ |
|
= (y2z3 z2y3) ~i (x2z3 z2x3) ~j+(x2y3 y2x3) ~k: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
xi2 |
yj2 |
z2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 y3 z3
[~a; [~b;~c]] = |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
yj1 |
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
y |
z |
3 |
|
z |
y |
3 |
x |
z |
2 |
|
|
z |
x |
2 |
x |
y |
3 |
|
y |
x |
3 |
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y1x3y2 |
|
|
z1x3z2 |
+ z1x2z3) |
~ |
|
|
|||||||||||
= (y1x2y3 |
|
|
|
i |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~
(x1x2y3 x1x3y2 z1y2z3 + z1y3z2) j+
~
+(x1x3z2 x1x2z3 y1y2z3 + y1y3z2) k =
= fЛевая часть тождестваg:
13
|
(~a;~c) = x1x3 + y1y3 + z1z3; |
|
~ |
~ |
|
b (~a;~c) = (x2x1x3 + x2y1y3 + x2z1z3) i+ |
|
|
|
~ |
|
|
+(y2x1x3 + y2y1y3 + y2z1z3) |
j+ |
|
|
~ |
|
+(z2x1x3 + z2y1y3 + z2z1z3) k: |
|
|
~ |
|
|
(~a; b) = x1x2 + y1y2 + z1z2; |
|
~ |
~ |
|
~c (~a; b) = (x3x1x2 + x3y1y2 + x3z1z2) i+ |
|
|
|
~ |
|
|
+(y3x1x2 + y3y1y2 + y3z1z2) |
j+ |
|
|
~ |
|
+(z3x1x2 + z3y1y2 + z3z1z2) k: |
|
~ |
~ |
|
b (~a;~c) ~c |
(~a; b) = |
|
~
= (x2x1x3 + x2y1y3 + x2z1z3 x3x1x2 x3y1y2 x3z1z2) i+
~
+(y2x1x3 + y2y1y3 + y2z1z3 y3x1x2 y3y1y2 y3z1z2) j+
~
+(z2x1x3 + z2y1y3 + z2z1z3 z3x1x2 z3y1y2 z3z1z2) k =
~
= (x2y1y3 + x2z1z3 x3y1y2 x3z1z2) i+
~
+(y2x1x3 + +y2z1z3 y3x1x2 y3z1z2) j+
~
+(z2x1x3 + z2y1y3 z3x1x2 z3y1y2) k =
= fПравая часть тождества g:
Сравнивая правую и левую часть тождества, получим полное совпадение.
Тождество доказано.
|
~ |
~ |
~ |
|
|
[[~a; b];~c] = b (~a;~c) |
~c (~a; b): |
|
|
||
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
0 |
~ |
|
|
[[~a; b];~c] = fСвойство 1 |
|
g = [~c; [~a; b]] = |
~ ~ ~ ~
= ~c (~a; b) b (~a;~c) = b (~a;~c) ~c (~a; b):
Тождество доказано.
14
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ ~ |
Åñëè ~c = ~a + b, òî [[~a; b]; ~a + b] = [[~a; b];~a] + [[~a; b]; b]: |
|||||
Тождество Якоби: |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
[~a; [b;~c]] + [b; [~c;~a]] + [~c; [~a; b]] = 0: |
|||
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
[~a; [b;~c]] + [b; [~c;~a]] + [~c; [~a; b]] = |
|
|
||
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
= b (~a;~c) ~c (~a; b) + ~c (b;~a) |
|
||
|
|
|
~ |
~ ~ |
(~c;~a) = 0: |
|
|
|
~a (b;~c) + ~a |
(~c; b) b |
Тождество доказано.
Собственные значения и собственные векторы. Ненулевой вектор, удовлетворяющий соотношению или называется собственным вектором квадратной матрицы. А число называется собственным значением матрицы . Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения или . Если - собственный вектор матрицы, то тоже собственный вектор матрицы . Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов. Свойства собственных чисел и собственных векторов: 1. Если выбрать базис из собст
15
2.Задания для самостоятельной работы.
2.1.Задания на тему Скалярное произведение .
~ |
|
|
2 |
|
|
~ |
|
|
1. Векторы ~a и b образуют угол |
3 |
. Зная, что j~aj = 3, jbj = 4. Вычислите: |
||||||
1)~a |
~ |
|
|
2 |
; |
|
|
|
b; |
|
|
5)~a |
|
|
|||
~2 |
; |
|
|
|
|
~ |
2 |
; |
2) b |
|
|
|
6) (~a + b) |
||||
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
2 |
; |
3) (3~a + 2b)(~a + 2b); |
7) (~a b) |
~2
4)(3~a + 2b) :
2. |
Векторы ~a = f4; 2; 4g |
è ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
b = f6; 3; 2g. Вычислите: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|||||
|
|
b; |
|
|
|
|
|
|
4) ~a |
|
|
|
|||||||||
|
|
3) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2) |
~2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
5) (~a + b) ; |
|
||||||||||
|
|
(2~a |
|
~ |
|
~ |
|
6) (~a |
|
|
|
~ 2 |
: |
|
|||||||
|
|
|
3b)(~a + 2b); |
|
|
|
|
b) |
|
||||||||||||
3. |
Äàíû |
единичные |
векторы |
~a; |
~ |
~c, |
удовлетворяющие |
условию |
|||||||||||||
b; |
|||||||||||||||||||||
|
~ |
~. Вычислите |
~a |
~ |
~ |
~c + ~c ~a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
~a + b + ~c = 0 |
|
|
|
|
|
|
b + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Äàíû |
единичные |
векторы |
~a; |
~ |
~c, |
удовлетворяющие |
условию |
|||||||||||||
b; |
|||||||||||||||||||||
|
~ |
~. Çíàÿ, ÷òî |
j~aj |
, |
~ |
, |
j~cj |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
~a + b + ~c = 0 |
|
|
|
|
|
= 3 |
jbj |
= 1 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите ~a b + b ~c + ~c ~a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что j~aj = 3, jbj = 5. Определите, при каком значении k |
|||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы ~a + k b и ~a k b будут взаимно перпендикулярны. |
6. Даны вершины треугольника A( 1; 2; 4), B( 4; 2; 0) и C(3; 2; 1). Определите внутренний угол при вершине B и внешний угол при вершине A.
7. |
Вычислите проекцию вектора ~a = f5; 2; 5g |
на ось вектора ~ |
1; 2g. |
||||
|
b = f2; |
||||||
8. |
Найдите проекцию вектора |
~ |
3; 2g на ось, составляющую с |
||||
|
|
|
d = f4; |
||||
|
координатными осями равные острые углы. |
|
|
||||
9. |
Даны векторы ~a = f1; 3; 4g |
, ~ |
4; 2g è ~c = f 1; 1; 4g. |
|
|||
b = f3; |
|
||||||
|
Вычислите pr~ |
~a. |
|
|
|
|
|
|
b+~c |
|
|
|
|
|
10.Вектор ~x, коллинеарный вектору f6; 8; 7; 5g, образует острый угол
ñосью OZ. Зная, что длина вектора равна 50, найти его координаты.
16
2.2.Задания на тему Векторное произведение .
~
1. Определите, какой является тройка векторов ~a; b; ~c (правой или левой), если
|
Номер |
|
~a |
|
|
|
~ |
~c |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
à) |
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
i |
j |
|
|
|
á) |
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
k |
j |
|
|
|
â) |
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
i |
k |
|
|
|
ã) |
~ |
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
i + j |
|
|
|
j |
k |
|
|
|
|
ä) |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
i + j |
|
|
i |
j |
j |
|
|
|
|
å) |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
i + j |
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
2. Векторы ~a и b образуют угол ' |
= |
6 |
. Çíàÿ, ÷òî j~aj |
= 6, jbj = 5. |
|
Вычислите [~a;~b] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Äàíû ~a |
= 10, ~b |
j |
= |
2 è ~a |
|
~b = 12. Вычислите [~a;~b] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
j j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Векторы ~a и ~b взаимно перпендикулярны. Зная, |
÷òî |
~a |
j |
= 3, |
~b |
j |
= 4. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
[(~a +~b); (~a ~b)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
||||||||||
|
Вычислите: |
è [(3~a ~b); (~a 2~b)] . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Векторы |
~a |
è ~ образуют угол |
|
|
|
2 |
. Çíàÿ, ÷òî |
|
|
= 1 |
, |
~ |
|
= 2 |
. |
||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
' = |
|
|
|
|
|
j~aj |
|
jbj |
|
|
|||||||||
|
Вычислите: [~a;~b]2, |
[(2~a +~b); (~a + 2~b)] 2 |
è [(~a + 3~b); (3~a ~b)] 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Даны векторы ~a = |
f |
3; |
1; 2 |
|
~b = |
f |
1; 2; |
1 |
|
. Найдите координаты |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
||
|
векторных произведений: [~a; b], [(2~a + b); b] и [(2~a b); (2~a + b)]. |
|
7.Даны вершины треугольника A(1; 2; 0), B(3; 0; 3) и C(5; 2; 6). Вы- числите площадь треугольника ABC.
8.Даны вершины треугольника A(1; 1; 2), B(5; 2; 6) и C(1; 3; 1). Вы- числите длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону
AC.
9. Вектор ~x, перпендикулярный к векторам ~a = f4; 2; 3g |
è ~ |
b = f0; 1; 3g, |
образует с осью OY тупой угол. Зная, что длина ~x равна 26, найдите его координаты.
17
2.3.Задания на тему Смешанное произведение .
1. |
Проверить компланарны ли данные векторы: |
|
|
|
|||||||
|
à) ~a = f1; 2; 2g |
, ~ |
|
|
2; 1g è ~c = f5; 2; 1g. |
|
|
||||
|
b = f1; |
|
|
||||||||
|
á) |
~ |
~, ~ |
~ |
~ è |
~. |
|
|
|
|
|
|
|
~a = j + k b = j |
k |
~c = i |
|
|
|
|
|||
2. |
При каком значении |
|
векторы |
~ ~ |
~ |
, ~ |
è |
||||
|
|
|
|
|
|
|
~a = i + j + k b = f0; 1; 0g |
|
~c = f3; 0; 1g компланарны?
3. |
Найдите объем параллепипеда, построенного на векторах ~a = f1; 2; 1g, |
||
|
~ |
|
|
|
b = f3; 2; 1g è ~c = f1; 0; 1g. |
||
4. |
Вычислите произведения: |
||
|
~ |
~ |
~a); |
|
à) (~a b) |
(b ~c) (~c |
|
|
~ |
~ |
|
|
á) ~a (b ~c) (~a + b + 2~c); |
||
|
â) ~ |
~ |
~ |
|
b (~c + ~a) (b + 2~c), åñëè ~a b ~c = 5. |
18