- •I. Первообразная и неопределенный интеграл
- •II. Методы интегрирования
- •2.1. Непосредственное интегрирование
- •2.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •2.3. Метод интегрирования по частям
- •III. Интегрирование рациональных дробей
- •3.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •3.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •3.3. Разложение правильной дроби
- •3.4. Нахождение коэффициентов
- •3.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •IV. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •V. Интегрирование тригонометрических выражений
- •VI. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •VII. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
2.3. Метод интегрирования по частям
(6)
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например, или,или.
– это все подынтегральное выражение, часть которого мы обозначаем за, а часть за. При этом:
за принимается функция, которая дифференцированием упрощается.
за – та часть, интеграл от которой известен или легко может быть взят.
в состав обязательно входит.
В итоге верного выбора иинтеграл в (6) должен быть проще исходного.
Пример 15.
.
Замечание 1. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз.
Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла ,, если
, то получаем уравнение: , откуда
или .
Пример 16. – решить методом по частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:
.
Только по частям берутся интегралы:
а) ,многочлен-ой степени,
, в частности одночлен
, ,
б) ,
,
, ,
в) ,
, или.
Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.
Пример 16.
.
Рассмотрим отдельные классы функций и способы их интегрирования.
III. Интегрирование рациональных дробей
3.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
1. , 2., 3., при,
4. , при(,,,,,).
При интегрировании дробей типа 1 – 2 достаточно ввести подстановку ,(или), тогда
;
, ().
Чтобы проинтегрировать дроби типа 3 – 4, необходимо выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, затем свести интеграл к табличному.
Пример 17.
Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена
=
.
(табл. интегр., 11)
Замечание. При интегрировании дробей типа 3 – 4 можно воспользоваться справочником.
3.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
Определение: Дробь называется рациональной, где,– многочлены-ой и-ой степеней.
Если , дробь неправильная.
Если , дробь правильная.
Неправильную дробь представляют в виде суммы целой части и правильной дроби. Операция выделения целой части может быть выполнена делением числителя на знаменатель.
Пример 18. Дробь неправильная (,,). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.
.
Пример 19. Дробь правильная, т. к.,,.
Пример 20. Дробь неправильная (,,).
.
3.3. Разложение правильной дроби
Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.
Пусть дробь правильная. Разложим знаменатель дробина множители. Найдем его корни, т. е. значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Тогда многочленразложится на множители:
, где
–действительные корни многочлена. Множитель не разложим на линейные множители, т. к..
Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая дробь соответствует:
, если.
,
если .
– пока неизвестные коэффициенты.
Разложить на простейшие дроби.
Пример 21. .
Пример 22.
–не имеет действительных корней, т. к. .
Пример 23.
.
Пример 24.
,
–не имеет действительных корней, т. к. .