Вариант 4

−1

0

0

0

1.

∫ dy ∫ f (x, y)dx + ∫ dy ∫ f (x, y)dx.

−2 − 2+y

−1 − −y

2.

L : x2

+ y2

= a2 ; L : x2

+ y2 = ax ;

L : x = 0, (y ≥ 0);

1

2

3

δ( x, y) =

1

.

a2 − x2 − y2

3.

S : x2

+ y2

+z2 =a2; S : x2

+ y2 ≤ z2

; S : z =0, (z ≥0).

1

2

3

4.

S : z = x2 +y2 ; S : z =2.

1

2

5.

Вычислить

массу контура

прямоугольника ABCD, если

поверхности

конуса z =

x2 + y2 ,

вырезанной цилиндром

x2 + y2 = 2x .

7.

U (x, y, z)= x3 y − xy3 + 6z ,

S : z2 = x2 + 4 y2 −4 ,

1

M 2;

−

; 1 .

2

r

r

r

L - ломаная, соединяющая точки

8.

a

=xi +y j +(x +y −1)k ,

r

r

r

2

+ y

2

+ z

2

= 5

= −y i

+ x j − zx k ,

Γ:

x

.

10. a

z =1

r

r

y rj +z k

a

= xi −

.

y2 +z2

−2

−x2 −4x

8

8−x2

1.

∫ dx

∫ f (x, y)dy + ∫dx

∫ f (x, y)dy .

− 4 − −x2 −4x

−2 − 8−x2

2.

δ( x , y ) = x 2 + y 2 ; L1 : x 2 + y 2 = ax ;

L2 : x 2 + y 2 = 2ax ;

L3 : y = 0

(y ≥ 0 ).

3.

S : z2

=x2 +y2;

S : z =2x2

+2y2;

S : z =2,

(между

1

2

3

параболоидами).

4.

S : x2

+ y2 +z2

=a2; S : z =0, (z ≥0).

1

2

x = 3t

= 3t2 от

()О (0, 0, 0) до

5.

Вычислить длину дуги кривой L : y

= 2t3

()A (3, 3, 2).

z

6.

Вычислить массу

участка поверхности

z2 = x2 + y2 ,

ограниченного плоскостями

z =1,

x = 0,

y = 0 ,

если плотность

δ(x, y, z)= xy .

r

y2 +1 r

x

r

MN , M (1, 2) и N(2, 4).

8.

a =

i

−

j , L – отрезок

y

y2

9.

ar=xir+(y +z) rj −(z − y)k ;

S : x2 + y2 + z2 = 9 ;

P : z =0, (z ≥0).

10.

ar = (x − yz) ir + x rj − z k , Γ : x2 + z2

=1.

y = 5

1

x

2

2−x2

1.

∫ dx

∫ f

(x, y)dy + ∫dx

∫ f (x, y)dy .

−1 − 2−x2

1 − 2−x2

2.

L : y = 3

x ;

y ≥

3

x ,

3

1

3

x

L : x2

+ y2

= a2

; L : x = 0 (x ≥ 0); δ( x , y ) =

.

2

3

x 2 + y 2

4.

S : x2

+ y2 +z2 =a2; S : x2 + y2 =

1

z2 .

1

2

3

5.

Вычислить

массу

участка

линии

x = a(cos t +t sin t)

t [0,2π],

y = a(sin t −t cos t),

если линейная плотность в каждой

точке равна ее расстоянию до начала координат.

6.

Вычислить момент инерции относительно оси OZ однородной

сферической оболочки x2 +y2 +z2 =a2 , (z ≥ 0).

7.

U (x, y, z)= x y − yz2 ,

S :

x2 + y2 = 4z ,

M (2;1;−1) .

8.

r

r

r

+(x + y −1)k ,

L

–

ломаная,

соединяющая точки

a

=zi + y j

M (1, 1, 1), K (2, 3, 1), N (2, 3, 4).

9.

r

r

r

2 =1 ; P : z =0; P : z =5.

a

= x i

+ y j + xy k ; S : x2 + y

1

2

r

r

r

2

r

2

+ y

2

+z

2

=25

10.

= yz i + 2xz j + y

k ,

Γ:

x

z >0.

a

2

2

;

+ y

=16

r

r

x

3y −x r

r

i

−3j

11.

a

=

+

k .

z

z2

3

2− 4−x2

2

4−x2

1.

∫ dx

∫ f (x, y)dy + ∫dx ∫ f (x, y)dy .

0

0

3

0

2.

L : y = x;

L : y = 0;

L : x2 + y2 = a2 ;

δ( x, y) = 1 +

y 2

.

1

2

3

x 2

3.

S : x2 + y2 + z2 = a2 ; S

2

: x2

+ y2 + z2 = b2 (b > a > 0);

1

S3 :

x = y;

S4 :

y = 0; S5 : x2 + y2 = z2 (вне конуса).

4.

S : x2 + y2 = z; S

2

: z = 4 .

1

5.

Вычислить момент инерции относительно начала координат

x = a cost

= a sin t .

однородного первого витка винтовой линии y

= b t

z

6.

Вычислить

массу

участка

поверхности

z2 = x2 + y2 ,

8.

ar = 3y i +2xy j , L : y = x2 −4 , M (2, 0), N(−2, 0).

9.

ar=(x −z)ir+(x +z)rj +xk ;

S : x2 + y2 + z2 =1;

(y ≥ 0),

P:

y =0.

r

r

2

2

10.

r

+ z

) +1 .

ar = z i

− x j

+ y2k , Γ : y = 3( x

y = 4

11.

ar = (y + z) ir+(x + z) rj +(y + x) k .