Лабораторная работа № 2

Тема: анализ устойчивости параметров задачи линейного программирования в среде Excel

Задание

Предприятие выпускает продукцию 4 видов. Для этого используются 3 вида ресурсов. В таблице даны (j=1,...4) – цены реализации единицы каждого вида продукции, (i=1,...3) – общий объем ресурсов,  _– нормы их расхода на единицу продукции j-ого вида. Нужно определить оптимальный ассортимент выпускаемой продукции, доставляющий предприятию максимум выручки. Задачу решить симплекс методом в среде Excel. Изучить отчеты по результатам и по устойчивости. Дать экономический анализ значений основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задачи. Проанализировать возможность увеличения прибыли на 10%.

	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
c1	90	80	30	20	40	60	60	125	50	200
c2	60	30	35	25	30	20	70	10	100	250
c3	40	20	60	50	70	120	20	150	150	120
c4	70	10	65	40	70	35	130	40	80	100
b1	800	300	120	500	300	500	600	580	350	400
b2	200	300	500	500	650	460	700	580	430	340
b3	800	560	55	700	490	700	600	560	470	600
a11	1	2	4	5	3	5	8	3	5	4
a12	0	3	4	2	3	1	1	3	2	4
a13	2	3	1	3	7	0	2	5	0	3
a14	1	3	4	3	1	2	1	0	3	4
a21	0	2	4	2	1	4	2	1	3	2
a22	1	0	3	5	3	5	4	2	2	1
a23	3	2	4	2	1	3	4	2	0	4
a24	2	3	5	4	2	0	1	4	6	3
a31	4	1	2	4	3	2	0	1	5	4
a32	2	2	3	4	2	2	1	1	0	4
a33	0	3	5	0	1	0	4	3	2	5
a34	4	3	2	1	2	4	2	0	1	4

	Номер варианта
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
c1	110	40	40	30	70	80	160	70	50	80
c2	60	50	50	70	40	30	80	50	65	75
c3	90	60	100	30	50	60	60	90	90	70
c4	60	70	80	60	60	90	90	50	40	50
b1	200	280	700	400	400	500	300	400	300	500
b2	360	560	340	800	600	560	800	600	500	400
b3	300	250	450	600	570	450	550	700	500	500
a11	2	3	2	2	3	3	4	4	1	1
a12	2	2	2	4	4	4	2	1	3	2
a13	3	5	4	4	1	6	3	3	2	2
a14	4	5	2	0	4	1	3	2	1	1
a21	0	4	0	4	3	2	2	3	4	0
a22	3	3	4	4	1	1	1	2	2	3
a23	2	2	3	3	2	1	4	3	0	1
a24	2	3	4	5	4	3	2	2	1	0
a31	3	4	1	2	0	2	3	1	1	2
a32	3	3	1	1	4	2	2	2	3	1
a33	2	0	0	4	0	1	3	3	4	4
a34	3	1	3	2	0	1	2	1	1	1

	Номер варианта
	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
c1	150	180	140	130	70	180	400	70	150	180
c2	80	150	90	70	140	130	90	150	60	70
c3	80	60	80	90	150	100	80	100	90	80
c4	70	80	90	60	60	90	90	150	140	90
b1	200	180	300	600	450	500	300	500	200	500
b2	260	360	440	500	600	600	900	600	400	400
b3	340	250	450	600	500	450	500	400	500	500
a11	2	2	5	2	3	3	4	4	1	1
a12	2	3	1	3	4	4	2	3	3	2
a13	5	2	0	4	2	6	2	3	2	2
a14	3	1	2	0	1	0	3	2	1	1
a21	3	0	3	4	3	2	2	3	2	3
a22	2	3	2	4	5	1	1	2	2	3
a23	1	3	1	3	0	5	4	4	3	4
a24	2	4	4	2	4	3	2	3	1	0
a31	5	5	5	2	3	3	6	1	1	2
a32	2	1	3	3	4	6	2	2	3	3
a33	0	3	1	4	2	5	3	3	4	4
a34	2	2	3	2	2	0	2	0	2	1

Методические указания

Пример. Предприятие выпускает продукцию 4 видов. Для этого используются 3 вида ресурсов. В таблице даны (j=1,...4) – цены реализации единицы каждого вида продукции, (i=1,...3) –запас ресурсов,  _– нормы расхода ресурсов на единицу продукции j-ого вида. Значения параметров заданы таблицей:

Нужно определить оптимальный ассортимент выпускаемой продукции, доставляющий предприятию максимум выручки. Задачу решить симплекс методом в среде Excel. Изучить отчеты по результатам и по устойчивости. Дать экономический анализ значений основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задачи. Проанализировать возможность увеличения прибыли на 10%.

Запишем данные задачи в таблицу, удобную для составления математической модели.

Составим математическую модель и решим задачу. (См. лабораторную работу №1.)

Получили решение: максимальная прибыль , оптимальный план выпуска продукции Сравнивая значения в столбце «Суммарное потребление» со значениями в столбце «Начальный запас», видим, что ресурсы первого и третьего вида используются полностью, т.е. являются дефицитными, а из 1500 единиц второго ресурса используется всего 120 единиц, т.е. этот ресурс не является дефицитным.

Перейдем к анализу отчетов по решению задачи.

Анализ отчетов по решению задачи Отчет по результатам

Таблица Целевая ячейка: Результат – значение .

Таблица Изменяемые ячейки в столбце Результат содержит оптимальный план производства, т.е. количества единиц продукции соответствующего вида, которые нужно выпускать в соответствии с оптимальным планом.

Таблица Ограничения:

• в столбце Значения находятся числа, равные расходу ресурсов соответственно первого, второго и третьего вида на производство продукции по оптимальному плану;

• в столбце Разница находятся значения вспомогательных переменных прямой задачи. Они показывают остатки ресурсов при организации производства в соответствии с оптимальным планом.

• в столбце Статус термин “связанное” появляется, если остаток ресурса равен нулю, т.е. для дефицитного ресурса, термин “не связанное” появляется для ресурса, не являющегося дефицитным.

Отчет по устойчивости

Таблица Изменяемые ячейки:

• Результирующее значение – значения основных переменных прямой задачи – оптимальный план;

• Нормированная стоимость: – модули нормированных стоимостей равны значениям вспомогательных переменных двойственной задачи: Это мера убыточности производства изделий соответствующего вида, т.е. значение разности между ценой на изделие и затратами на его производство .

Если в этом столбце встречается отрицательное число, то производство соответствующего вида изделий нерентабельно и соответствующее значение Если необходимо получить положительное значение переменой в оптимальном плане, нужно увеличить соответствующий целевой коэффициент больше, чем на допустимое увеличение.

• Целевой коэффициент – содержит коэффициенты целевой функции.

Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение задают интервалы устойчивости целевых коэффициентов. При изменении целевых коэффициентов внутри интервала устойчивости оптимальный план не изменится, но оптимальное значение целевой функции будет другим, т.к. и сама функция будет другой. Графически это означает, что оптимальное значение достигается в той же вершине многоугольника, но наклон линии (поверхности) уровня целевой функции изменится. Выход за пределы интервала устойчивости приведет к тому, что оптимальное значение функции будет достигаться в другой угловой точке. Если измененное значение параметра будет равно граничному значению соответствующего интервала устойчивости, то линия (поверхность) уровня целевой функции будет совпадать с одной из сторон (граней) многоугольника (многогранника), являющегося областью допустимых решений, т.е. возникнет ситуация альтернативного оптимума. Если в столбцах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение встречаются нули, то имеется альтернативный оптимум. Т.е. оптимальное решение достигается еще в одной угловой точке многогранника допустимых решений.

• Выражение 1Е+30 следует понимать как бесконечность.

Таблица Ограничения:

• в столбце Результирующее значение указан расход ресурсов соответственно первого, второго и третьего вида на производство продукции по оптимальному плану;

• в столбце Теневая цена находятся числа, равные значениям основных переменных двойственной задачи

Для недефицитного ресурса второго типа теневая цена равна нулю, для дефицитных ресурсов теневая цена положительна. Теневая цена показывает, на сколько единиц изменится значение целевой функции при изменении запаса соответствующего ресурса на единицу, если это изменение не выходит за пределы интервала устойчивости. При выходе из интервала устойчивости теневая цена изменится. Кроме того, теневая цена – это максимальная цена, которую стоит платить за дополнительную единицу дефицитного ресурса, чтобы приобретение было выгодным, или минимальная цена его продажи.

• В столбце Ограничение Правая часть находятся значения начальных запасов ресурсов (правые части ограничений);

• Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение задают интервалы устойчивости изменения запасов ресурсов. При изменении правой части лимитирующего ограничения внутри интервала устойчивости те же виды продукции останутся рентабельными, те же виды ресурсов останутся дефицитными, не изменятся и теневые цены ресурсов. Оптимальный план и значение целевой функции при этом, как правило, меняются.

Если ограничение не является лимитирующим, то, как правило, допустимое увеличение значения правой части равно бесконечности.

Если измененное значение правой части ограничения будет равно граничному значению соответствующего интервала устойчивости, то либо оптимальное значение будет достигаться в новой угловой точке (т.е. изменятся лимитирующие ограничения и теневые цены), либо угловая точка останется прежней, но еще одно или несколько ограничений станут лимитирующими.