- •44.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование
- •44.2. Частные производные высших порядков
- •44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
- •44.5. Дифференциалы высших порядков
- •44.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
- •44.8. Дифференцирование неявной функции
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
- •42.1. Формула прямоугольников
- •42.2. Формула трапеций
- •42.3. Формула парабол (Симпсона)
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный пределто его называют несобственным интегралом первого родаи обозначают
Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интегралсходится.
Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл dx расходится.
Аналогичноопределяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:
Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой
где с — произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интегралсходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).
Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1) 2)3)
Решение:
1)интеграл сходится;
2)интеграл расходится, так как при а →-∞ пределне существует.
3)интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤φ(х), то из сходимости
интеграласледует сходимость интегралаа из расходимо-
сти интеграла следует расходимость интеграла
Пример 40.2. Сходится ли интеграл
Решение: При х ≥ 1 имеемНо интегралсходится. Следовательно, интегралтакже сходится (и его значение меньше 1).
Теорема 40.2. Если существует предели φ(х) > 0), то интегралыодновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла
Решение: Интегралсходится, так как интеграл сходится и
40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Таким образом,поопределению,
Если предел в правой части существует, то несобственный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают
Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственныхинтеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).
Пример 40.4. Вычислить
Решение: При х = 0 функция терпит бесконечный разрыв;
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; b) функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤ φ(x).
Из сходимости интегралавытекает сходимость интегралаа из расходимости интегралавытекает расходимость интеграла
Теорема 40.4. Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует пределто интегралыодновременно сходятся или одновременно расходятся.
Пример 40.5. Сходится ли интеграл
Решение: Функцияимеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию, Интеграл
расходится. И так как
то интегралтакже расходится.
Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразнуюF(x) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.