- •44.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование
- •44.2. Частные производные высших порядков
- •44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
- •44.5. Дифференциалы высших порядков
- •44.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
- •44.8. Дифференцирование неявной функции
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
- •42.1. Формула прямоугольников
- •42.2. Формула трапеций
- •42.3. Формула парабол (Симпсона)
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.
Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем
Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:
Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
|
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).
Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a;b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.
1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b], то
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.
Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем:
Тогда Отсюда вытекает, что функцияс • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲
2. Если функции ƒ1(х) и ƒ2(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
▼▲
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
3.
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то
т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).
При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = хm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Так, например, если а < b < с, то
Отсюда
(использованы свойства 4 и 3).
5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что
▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем
где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим
F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲
Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число
называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].
6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼По «теореме о среднем» (свойство 5)
где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и
ƒ(с)≥0, b-а>0.
Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е.▲
7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ1(x)≤ƒ2(х) при х є [а;b], то
▼Так как ƒ2(х)-ƒ1(x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем
Или, согласно свойству 2,
▲
Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то
▼Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем
Применяяк крайним интегралам свойство 5, получаем
▲
Если ƒ(х)≥0, то свойство 8 иллюстрирует ся геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и М (см. рис. 171).
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
▼Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем
Отсюда следует, что
▲
10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.
▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
▲
Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
Определенный интегралгде промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.
Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.