Аналитическа геометрия

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

A

,

a

n 1

a

n 2

a

n n

x1

x2

где

X

- вектор-столбец национальных доходов.

xn

Таким образом, надо найти

собственный

вектор

матрицы А,

принадлежащий собственному значению 1.

2. Векторы. Скалярное произведение векторов

Вектором называется направленный отрезок

прямой

AB .

Вектор

можно обозначать и как a,b,

Коллинеарными называются два

вектора, которые

лежат на

одной

прямой или на параллельных прямых.

Обозначение:

a || b . Коллинеарные

b . Модулем вектора называется расстояние от его начала до его конца

a

b , если

(обозначение: | a | ). Два вектора равны a

1)

.

a

b ; 2)

a

b

связанных векторов.

Нулевым называется вектор, начало и конец которого

совпадают: AA

0.

, которые лежат в одной

Компланарными называются три вектора a,b,c

плоскости или параллельных плоскостях.

Если

задана

декартова

прямоугольная

система

координат

в

можно представить в виде:

пространстве, то любой вектор a

a

x i

y j z k ,

где i , j, k -

единичные векторы,

задающие направления осей координат.

Числа x, y, z - это координаты вектора a

в базисе

i , j, k . Используется и

x; y; z .

обозначение a

A x1, y1, z1

B x2 , y2 , z2 ,

Если

даны

точки

и

то

AB x

x ; y

y ; z

z .

2

1

2

1

2

1

и

x3; y3; z3 -

Пусть

a

x1; y1; z1 ,

b x2 ; y2 ; z2

c

векторы,

-

вещественное число. Тогда

x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2.

1) a

b

2) a

x1i

y1 j z1k .

x1

3) a

b

x2 i

y1 y2 j z1 z2 k .

x

y

z

4) a || b

1

1

1

.

x2

y2

z2

x1

y1

z1

x2

y2

z2

5) a, b, c

- компланарны

0.

x3

y3

z3

Скалярным

произведением

векторов

и

называется число,

a

b

обозначаемое ab , такое, что

ab

| a || b | cos a^b .

;

2) a

b ab

3) a b

c ab

ac ;

4) a

b ab 0 ;

y1 y2 z1z2 ;

5) a

x1i y1 j

z1k , b

x2i

y2 j

z2k ab x1x2

x2 y2 z2 ;

6) a

xi

yj

zk

a

^

x1x2 y1 y2 z1z2

ab

7) cos a b

.

| a || b |

x12 y12 z12

x22 y22

z22

3. Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y kx b .

(1)

Общее уравнение прямой:

Ax By C 0 ,

(2)

где A2 B2 0,

A; B - вектор, перпендикулярный

прямой (его

n

Уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

M0 x0 , y0

A; B :

перпендикулярно вектору n

A x x0 B y y0 0.

(3)

Параметрические уравнения прямой:

x x0

tl,

.

(4)

y y0

tm,

где M0 x0 , y0 - точка,

лежащая на прямой,

l; m - вектор, параллельный

a

прямой (его называют направляющим вектором прямой).

Каноническое уравнение прямой:

x x0

y y0

,

(5)

l

m

где M0 x0 , y0 - точка,

l; m - направляющий вектор

лежащая на прямой,

a

прямой.

Угол между прямыми, заданными уравнениями

A1x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0

находится по формуле:

cos

A1 A2 B1B2

.

(6)

A2

B2

A2

B2

1

1

2

2

Угол между прямыми, заданными уравнениями

x x1

y y1

и

x x2

y y2

l1

m1

l2

m2

находится по формуле:

cos

l1l2 m1m2

.

(7)

l 2

m2

l 2 m2

1

1

2

2

Расстояние от точки M0 x0 , y0

до прямой

Ax By C 0 находится

по формуле:

d

Ax0

By0

C

.

(8)

A2 B2

4. Плоскость

Уравнение плоскости,

проходящей

через точку M0 x0 , y0 , z0

A; B;C (нормальному вектору плоскости):

перпендикулярно вектору n

7

где

M0 x0 , y0 , z0 -

точка, лежащая на прямой,

l;m;n -

направляющий

a

вектор прямой.

Канонические уравнения прямой:

x x0

y y0

z z0

,

(18)

l

m

n

где

M0 x0 , y0 , z0 -

точка, лежащая на прямой,

l;m;n -

направляющий

a

вектор прямой.

Угол между прямыми, заданными уравнениями

x x1

y y1

z z1

и

x x2

y y2

z z2

:

l1

m1

n1

l2

m2

n2

cos

l1l2

m1m2 n1n2

.

(19)

l2

m2

n2

l2 m2 n2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

3

4

2

A

1

1

1

.

2.

Написать уравнение прямой

проходящей через

точки

A( 3;2) и

B( 1;1) .

3.

Вычислить расстояние от

точки M (2; 1; 3)

до

плоскости

x 2y 2z 4 0.

4.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку

M (3;1; 4)

перпендикулярно плоскости 5x 2y 3z 14 0 .

Решение задачи 1.

Вектор-столбец

национальных

доходов,

обеспечивающих

Составим матрицу A E

и приведем еѐ к ступенчатому виду.

1

1

1

2

1

1

1

8

3

4

2

3

4

2

3

6

A E

1

1

1

1

1

1

1

3

~

2

3

~

3

2

2

2

3

2

4

3

12

1

1

1

1

0 1

1

3

4

3

4

(первую и третью строку умножили на 12, вторую – на 6)

3

2

3

8 3

6

2

3

3

2 3

2 3

~

2

3

3

~

0

8 3

8

3

0

18 36

~

4

3

12

2 3

2 3

0

18 36

0

8

3

8

3

(переставили первую и вторую строки, обнулили первый столбец)

2

3

3

2

3

3

3

~

0

18

36

~

0

1

2

2

3

~

.

0

1

2