Программа Гильберта.

Основная задача Гильберта, как он её формулирует: «Восстановить прежнюю добрую славу непоколебимой строгости математики, как будто потерянную ею под ударами парадоксов теории множеств». Надо сказать, что Гильберт не был против самой теории Кантора и тем более не отрицал её значения и вклада в историю математики, тем не менее, он прекрасно понимал, что математика не может остаться прежней, в связи с теми противоречиями, что показала теория множеств. Следовательно, единственный путь сохранить математику как строгую науку, не терпящую сослагательного наклонения, преобразовать её. Орудием его является знакомый математикам с давних времен Аксиоматический метод¹. Его идея впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид), откуда её и взял Гильберт. Он преобразовал метод построения геометрии по примеру Евклида, и создал концепцию формального аксиоматического метода, которая ставит задачу точного описания логического средств вывода теорем из аксиом.

Как это описывает сам Гильберт, в своей работе «Основания геометрии»: есть два метода, один генетический и другой аксиоматический, первый отличается тем, что «общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений»². Но этот метод является единственно подходящим лишь для изучения понятия числа, а «для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод»³. Это такой способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения — аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение теории таким способом называется дедуктивным⁴.

Такие доказательства применяются во многих науках, но основной областью применения являются математика и логика. Таким образом, основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь в решении конкретной задачи и зависящие от интерпретации. Кроме этого, чтобы вывести из этих аксиом теоремы требуется особый метод вывода, правила которого Гильберт также сформулировал.

Доказательство в такой теории — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности, следуя одному из правил вывода. Главным требованием Гильберта, предъявляемым к системам, сконструированным таким способом — непротиворечивость аксиом. Как говорит об этом В.А.Светлов: «Такая математика подобна шахматной игре, в которой фигуры — ограниченный запас символов, а расположенные фигур на доске — объединение символов в формулу»⁵.

Философские принципы математики Гилберта

Важнейшими философскими принципами математики Гильберта являются, во-первых, его аксиоматический метод, который берет свое начало от Пифагора, первого назвавшего себя философом. Этот метод был также разработан позднее Аристотелем, а впоследствии развит Декартом и Лейбницем в их философских концепциях. Последний был защитником концепции самоочевидности и говорил, что «все математические истины суть тождественные сами по себе, следовательно, истинные сами по себе утверждения»⁶. Во-вторых, его разработки вопроса сущности бесконечного, разрабатываемого до этого также Кантом и, являющийся основанием теории множеств Кантора. Гильберт принял основное направление обоснования математики Канта. Математика не может быть, по его представлению, основана исключительно на логике. Для логических выводов в нашем созерцании должны присутствовать конкретные внелогические объекты и, чтобы эти выводы были как можно более надежными, необходимо, что было достаточное количество этих объектов. Их существование, различие и порядок должны быть очевидны, то есть быть настолько простыми и неразличимыми в себе насколько это возможно⁷.

Для Гильберта имела большое значение философия Канта, некоторые основоположения первого базируются именно на кантианстве. По мнению Гильберта, всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию и именно в этом вопросе он солидарен с Кантом. Более того, программа Гильберта может быть рассмотрена как выступление в защиту кантианства. Он, также как и Кант, понимает, что если математика будет ограничена логическими связями, то в ней не найдется места для парадоксов. Кроме того, его аксиоматизация основных дисциплин математики означала особое понимание статуса математических объектов в реальном мире. Гильберт считал их символами или комбинациями символов, не имеющих значений и определений. Их место в формуле дает им определение.

Второй пункт гильбертовской программы — доказательство непротиворечивости аксиом. По его мнению, математическое рассуждение может трактоваться так же, как объект теории. Доказательство математической теоремы является объектом, собранным по определённым правилам. Гарантией непротиворечивости таких объектов является их конечность и регулярность.

Таким образом, главной отличительной особенностью концепции формализма Гильберта можно считать сочетание конечного и бесконечного, финитного и трансфинитного, то есть включение трансфинитной концепции Кантора в финитные определения математики Гильберта.