1. Основные показатели вариационных рядов

Для анализа вариационных рядов используются три группы показателей:

• показатели среднего уровня (центра распределения);

• показатели степени вариации;

• показатели дифференциации и концентрации;

• показатели формы распределения.

1. Показатели среднего уровня

При анализе особенностей статистического распределения прежде всего следует найти его центральное значение, или центр распределения. Для этого используют средние степенные, моды и медианы.

1. Средние степенные

Среди средних степенных наиболее часто применяется средняя арифметическая. Используются также средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.

Все перечисленные средние степенные величины рассчитываются по формуле средней степенной. Формула средней степенной порядка z используется, если имеются варианты x₁^z, x₂^z, …, x_n^z:

Формула средней степенной взвешенной используется, если имеются варианты и частоты m₁, m₂, …, m_n:

В таблице представлены формулы различных видов степенных средних величин.

Наименование средней	Формула средней
	простая	взвешенная
Гармоническая (z=-1)
Геометрическая (z=0)
Арифметическая (z=1)		;
Квадратическая (z=2)

где

– средняя степенная;

–показатель степени, позволяющий определить вид средней;

вариант;

число вариантов;

частота, или статистический вес варианта;

частость.

2. Мода

Модой (Mo) называется значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду.

Для дискретного ряда мода определяется непосредственно из определения, т.е. ищется значение признака, который встречается чаще всего. Для интервального ряда с равными интервалами сначала определяется модальный интервал (x_k-1 - x_k), которому соответствует максимальная частота (m_i) или частость (w_i).

Значение моды внутри модального интервала определяется по формуле:

где

x_k-1 – нижняя граница модального интервала;

h_k – длина модального интервала;

m_k-1, m_k, m_k+1 – частота интервала, соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Графически моду можно определить по гистограмме распределения. Для этого следует выполнить следующие действия:

• выбрать самый высокий прямоугольник, который является модальным;

• правую вершину модального прямоугольника соединить с верхней правой вершиной предшествующего прямоугольника;

• левую верхнюю вершину модального прямоугольника соединить с верхней левой вершиной последующего прямоугольника;

• найти абсциссу точки пересечения этих отрезков.

Найденная абсцисса является модой распределения.

Для ряда с неравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей плотности распределения. Мода – это значение признака, которому соответствует максимальная плотность распределения. Поэтому в формуле вместо частот m_k-1, m_k, m_k+1 следует подставить плотности распределения p_k-1, p_k, p_k+1:

Пример 12. Вычисление моды для дискретного вариационного ряда

Вычислить моду для распределения сотрудников по тарифным разрядам.

Тарифный разряд	Число сотрудников, чел
2	11
3	18
4	22
5	20
6	14
Итого	85

Мода равна 4, так как 4 – это значение признака, который встречается чаще всего, т.е. 22 раза.

Пример 13. Вычисление моды для интервального вариационного ряда с равной длиной интервалов

Вычислить моду для распределения сотрудников по возрастам.

Возрастные группы сотрудников, лет	Число сотрудников, чел
20 – 30	11
30 – 40	33
40 – 50	22
50 – 60	15
60 – 70	4
Итого	85

Модальным интервалом является интервал 30 – 40 лет, т.к. ему соответствует максимальная частота 33. Мода равна:

Графическое определение моды:

Пример 14. Вычисление моды для интервального вариационного ряда с неравной длиной интервалов

Вычислить моду для распределения фермерских хозяйств по поголовью скота.

Поголовье скота, шт.	Количество хозяйств, шт.	Частость, %	Плотность распределения
Менее 5	11	12,94	2,59
5 – 10	33	38,82	7,76
10 – 30	22	25,88	1,29
30 – 50	15	17,65	0,88
50 – 100	4	4,71	0,09
Итого	85	100

Частости в процентах:

12,94

38,82

25,88

17,65

4,71

Плотности распределения:

Наибольшая плотность, равная 7,76 соответствует интервалу 5 – 10.

Мода:

Графическое определение моды: