2. Критерий согласия Романовского

Критерий Романовского Kp использует критерий Пирсона и степени свободы:

где

- найденное расчётное значение критерия Пирсона;

v – число степеней свободы.

Если Kp < 3, то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны. Если Kp > 3, то расхождения не случайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Романовского удобно использовать, когда нет таблиц для ².

3. Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова :

или

где

D – максимальная разность между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами;

d – максимальная разность между эмпирическими и теоретическими накопленными частостями;

N - число единиц в совокупности.

После вычисления значения  по таблице P() определяется вероятность того, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны.

Значение функции P()

	P			P
≤ 0,30	1,0000		1,10	0,1777
0,35	0,9997		1,20	0,1122
0,40	0,9972		1,30	0,0681
0,45	0,9874		1,40	0,0397
0,50	0,9639		1,50	0,0222
0,55	0,9228		1,60	0,0120
0,60	0,8643		1,70	0,0062
0,65	0,7920		1,80	0,0032
0,70	0,7112		1,90	0,0015
0,75	0,6272		2,00	0,0007
0,80	0,5441		2,10	0,0003
0,85	0,4653		2,20	0,0001
0,90	0,3927		2,30	0,0001
0,95	0,3275		≥ 2,40	0,0000
1,00	0,2700

Если P() = 1, то полное совпадение, а если P() = 0, то полное расхождение.

Основным условием использования критерия Колмогорова является достаточно большое число наблюдений.

Пример 26. Расчет теоретических частот нормального распределения

(Нормальное распределение). Рассчитать теоретические частоты ряда распределения на основе данных, представленных в таблице.

Величина всходов, см xi	Количество всходов, шт mi	Середина интервала, см xiср	ximi
0 - 5	9	2,5	22,5	4029,06	2,05	0,05	6
5 – 10	16	7,5	120	4177,45	1,57	0,12	15
10 – 15	29	12,5	362,5	3610,72	1,08	0,22	28
15 – 20	42	17,5	735	1592,84	0,60	0,33	42
20 – 25	49	22,5	1102,5	65,74	0,11	0,04	50
25 – 30	43	27,5	1182,5	634,62	0,37	0,37	47
30 – 35	33	32,5	1072,5	2579,80	0,86	0,28	35
35 – 40	21	37,5	787,5	4023,45	1,34	0,16	20
40 – 45	13	42,5	552,5	4615,12	1,83	0,08	9
45 - 50	4	47,5	190	2273,71	2,31	0,03	3
Итого	259		6127,5	27602,51

Средняя арифметическая:

Среднее квадратическое отклонение

При сравнении на графике эмпирических m и теоретических m’ частот видна их близость.

Пример 27. Расчет теоретических частот распределения Пуассона

(Распределение Пуассона). В таблице представлены данные о наличии дефектов на выпущенных изделиях пробной партии изделий. Выровнять полученный ряд по кривой Пуассона.

Количество дефектов, шт xi	Количество изделий, шт mi	ximi
0	220	0	101,50	212
1	130	130	13,10	145
2	56	112	97,19	49
3	9	27	48,33	11
4	3	12	33,02	2
5	1	5	18,64	0
Итого	419	286	312,78	419

Средняя арифметическая:

Дисперсия:

Так как средняя арифметическая и дисперсия близки по значению, то можно предположить, что данное распределение подчиняется закону Пуассона.

Теоретические частоты:

Полученные теоретические частоты удобно округлить до целых.

Пример 28. Проверка правильности выдвинутой гипотезы о распределении по закону нормального распределения

Используя данные таблицы проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении всходов по закону нормального распределения.

Величина всходов, см xi	Частоты			Накопленные частоты
	mi			Fi
0 - 5	9	6	1,35	9	6	3
5 – 10	16	15	0,11	25	21	4
10 – 15	29	28	0,04	54	49	5
15 – 20	42	42	0,00	96	91	5
20 – 25	49	50	0,01	145	140	5
25 – 30	43	47	0,29	188	187	1
30 – 35	33	35	0,08	221	222	1
35 – 40	21	20	0,02	242	242	0
40 – 45	13	9	1,32	255	252	3
45 - 50	4	3	0,08	259	255	4
Итого	259		3,31

Расчётное значение критерия Пирсона:

Число степеней свободы:

Табличное значение Критерия Пирсона при  = 0,05 и :

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Критерий Романовского:

Kp < 3, что также подтверждает верность гипотезы.

Критерий Колмогорова:

При табличное значение вероятностиP() очень близко к 1. Следовательно, и этот критерий гипотезу подтверждает.

Все использованные критерии подтвердили правильность выдвинутой гипотезы о распределении всходов по закону нормального распределения.

Пример 29. Проверка правильности выдвинутой гипотезы о распределении по закону Пуассона

Используя данные таблицы проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении дефектов на выпущенных изделиях закону Пуассона.

Количество дефектов, шт. xi	Частоты					Накопленные частоты
	mi		Fi
0	220	212	0,32		220		212	8
1	130	145	1,46		350		356	6
2	56	49	0,90		406		406	0
3	9	11	0,44		415		417	2
4	3	2	0,61		418		419	1
5	1	0	2,09		419		419	0
Итого	419	419	5,83

Расчётное значение критерия Пирсона:

Число степеней свободы:

Табличное значение Критерия Пирсона при  = 0,05 и :

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Критерий Романовского:

Kp < 3, что также подтверждает верность гипотезы.

Критерий Колмогорова:

При табличное значение вероятностиP() близко к 1. Следовательно, и этот критерий гипотезу подтверждает.

Все использованные критерии подтвердили правильность выдвинутой гипотезы о распределении дефектов на выпущенных изделиях по закону нормального распределения.