Басов3
.pdfВ. В. Басов Курс лекций по ОДУ
Учитывая, что все должно происходить в малой трубчатой окрестности дуги интегральной кривой расчетного решения y = '(x; 0); выберем нулевое пикаровское приближение не константой, а лежащим в окрестности кривой 0 = f(x; '(x; 0)) j a x bg:
Пусть, для начала, : Положим
y(0)(x) = y(0)(x; x0; y0; 0) = y0 '(x0; 0) + '(x; 0) (8 x 2 [a; b]):
Отметим четыре свойства нулевого пикаровского приближения:
а) y(0) |
(x) = y0; |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
б) y(0) |
(x) = y0 + Zx0 |
f(s; '(s; 0); 0) ds |
для |
8 x 2 [a; b]; |
||
в) jjy(0)(x) '(x)jj = jjy0 '(x0)jj для |
8 x |
2 [a; b]; |
||||
г) 8 |
(0 < ); |
8 x 2 [a; b] ) (x; y(0)(x); ) 2 |
U |
F: |
Непосредственно из вида y(0)(x; x0; y0; 0) в б) вытекает, что нулевое пикаровское приближение непрерывно по каждому из аргументов x0; y0; ; а по x непрерывно дифференцируемо, что гарантирует непрерывность y(0) по совокупности аргументов.
Кроме того, свойство г), очевидно, вытекает из в), поскольку в области U jjy0 '(x0)jj < ; а jj 0jj всегда меньше :
Теперь для 8 k 1 стандартно рекуррентным образом введем
x |
|
|
y(k)(x) = y(k)(x; x0; y0; ) = y0 + Zx0 |
f(s; y(k 1)(s); ) ds |
(3:16) |
– k -е пикаровское приближение, которое определено в некоторой окрестности точки x0; и y(k)(x0) = y0:
Наличие компакта U позволят ввести две константы.
Пусть L = L 1 – глобальная константа Липшица для U ; а
= ;L = L=(2(eL(b a) 1)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Покажем методом математической индукции по k (k 1); |
что |
||||||||||||||||||||||
существует такое = (0 < =2); что |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 ) y(k)(x; x |
; y0 |
; ) |
определено для 8 |
x |
2 |
[a; b]; непрерывно в V ; |
|||||||||||||||||
k |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ljx x0j) |
k |
|
||||||||
2 ) |
|
x |
|
[a; b] : |
|
y(k)(x) |
|
y(k 1)(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
8 |
2 |
jj |
|
jj L |
|
k! |
|
|
|||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3k) 8 x 2 |
[a; b] точка (x; y(k)(x); ) 2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
Опять же, 3k) означает, что jjy(k)(x) '(x)jj и jj 0jj :
31
Установим сначала базу индукции.
11) |
Согласно свойству г) нулевого приближения для 8 |
и 8 x |
2 [a; b] функция f(x; y(0)(x); ) определена и непрерывна. |
Поэтому первое пикаровское приближение y(1)(x; x0; y0; ) = y0 +
R |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 f(s; y(0)(s); ) ds определено для 8 x 2 [a; b] |
и непрерывно в V |
||||||||||||||||||||||||||
как композиция непрерывных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
21) |
Для 8 x 2 [a; b] |
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
jjy(1) |
x0 |
|
|
б) |
|
R |
|
x |
|
|
( |
( |
0) |
|
0) |
|
R |
x |
|
f(s; '(s; 0); 0) dsjj |
|||||||
|
f(s; y (s); ) |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x) y(0)(x)jj |
= jj |
|
f(s; y(0)(s); ) ds |
x0 |
|||||||||||||||||||||||
|
R |
x |
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
jj |
|
|
|
ds |
|
f |
|
s; ' s; |
|
; |
|
|
jj |
|
j |
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
||||||||
|
Согласно свойству г) аргумент функции f принадлежит |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
U |
|
F |
||||||||||||||||||||||||
и f |
непрерывна в F; |
|
следовательно f(x; y; ) |
равномерно непре- |
|||||||||||||||||||||||
рывна на компакте |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
По определению равномерной непрерывности для 8 "; в качестве |
которого используем введенную выше константу ; найдется константа = (0 < =2) такая, что если jjy(0)(s) '(x)jj
иjj 0jj ; то jjf(s; y(0)(s); ) ds f(s; '(s; 0); 0)jj :
Но точка (x0; y0; ) 2 U и выполняется свойство в), поэтому
последнее неравенство справедливо.
В результате jjy(0)(s) '(x)jj jx x0j для 8 x 2 [a; b]; что совпадает с 2k) при k = 1:
31) Для 8 x 2 [a; b] по неравенству треугольника имеем:
jjy(1)(x) '(x)jj jjy(1)(x) y(0)(x)jj + jjy(0)(x) '(x)jjjx x0j + (b a) + =2 ;
так как, очевидно, =(2(b a)) и =2:
Предположим теперь, что утверждения 1) – 3) выполнены для
приближений y(2); : : : ; y(k); и докажем их для xy(k+1) (k 1): |
|
1k+1) Функция y(k+1)(x; x0; y0; ) = y0 + Zx0 |
f(s; y(k)(s); ) ds по |
определению (3.16) является (k + 1) -м пикаровским приближением. По индукционному предположению 3k) это приближение определено для 8 x 2 [a; b] и непрерывно по совокупности аргументов в V как композиция непрерывных функций.
2k+1) Для 8 x 2 [a; b] имеем:
jjy(k+1)(x) y(k)(x)jj
x |
jjf(s; y(k)(s); ) f(s; y(k 1)(s); )jj ds : |
Zx0 |
|
|
|
|
|
|
|
32
В. В. Басов |
Курс лекций по ОДУ |
||
|
|
|
|
Согласно 3k) и 3k 1) аргументы f принадлежат компакту U ; на котором функции f удовлетворяет условию Липшица глобально с константой L: Поэтому, используя неравенство (3.8), получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jjy(k+1)(x) y(k)(x)jj L Zx0 |
jjy(k)(s) y(k 1)(s)jj ds |
|
2k) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
(L |
s |
|
|
|
) |
k |
|
(L |
x |
|
x0 |
|
) |
k+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
L |
Zx0 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
ds = |
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
|
: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
k! |
|
|
|
L |
|
|
(k + 1)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника имеем: |
|
|||||||||||||||||
|
3k+1) Для |
|
x |
|
|
|
[a; b] по неравенству |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
jjy(k+1)(x) '(x)jj jjy(k+1)(x) y(k)(x)jj + : : : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
: : : + jjy(1)(x) y(0)(x)jj + jjy(0)(x) '(x)jj |
2); в) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(L(b a))k+1 |
+ : : : + |
|
L(b a) |
|
+ |
|
|
|
(eL(b a) |
|
1) + |
|
= : |
|||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(k + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Таким образом, индукционные предположения 1k) 3k) доказаны. Дословно следуя теперь доказательству теоремы Пикара, можно показать, что пикаровские приближения, определенные в (3.16), равномерно относительно [a; b] сходятся к непрерывной в области V функции y = y(x; x0; y0; ); являющейся единственны решением
системы (3.15) с начальными данными x0; y0( ): |
|
20: Дифференцируемость решений |
|
по начальным данным и параметрам. |
|
Продолжим изучение нормальной системы (3.15) y0 |
= f(x; y; ); |
зависящей от векторного параметра = ( 1; : : : ; m); |
с непрерыв- |
ной в области F = G M функцией f; где M = f j jj 0jj < cg: Пусть y = y(x; x0; y0; ) – решение задачи Коши системы (3.15)
сначальными данными x0; y0; т. е. y(x0; x0; y0; ) = y0( ):
Впредыдущем разделе была установлена непрерывность решения
по совокупности своих четырех аргументов.
Однако большой практический интерес представляет собой знание производных выбранного решения по параметрам и начальным данным, причем как их наличие, так и способы нахождения.
Разумеется, чтобы рассчитывать на дифференцируемость решений не только по независимой переменной x; придется наложить дополнительные ограничения на функцию f системы (3.15).
33
Теорема (о дифференцируемости решений по начальным данным и параметрам). Пусть в системе (3.15) функция f(x; y; ) определена, непрерывна и имеет непрерывные fy0; f0 в области F
пространства точек (x; y; ); т. е. f |
2 Cx;y;0;1;1 (F ): Тогда решение |
системы (3.15) y = y(x; x0; y0; ) 2 |
1;1;1;1 |
Cx;x0;y0; (D) = C1(D); где |
D = f(x; x0; y0; ) j (x0; y0; ) 2 F; x 2 Imaxg; Imax – максимальный интервал существования решения y(x; x0; y0; ); причем
1) вектор функция |
(j)(x) = @y(x; x0; y0; )=@ j для 8 j = |
1; m |
|
|||||
удовлетворяет линейной неоднородной системе порядка m |
|
|
|
|||||
v0 = |
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) |
v + |
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) |
|
(3:17) |
|||
|
@ j |
|||||||
|
@y |
|
|
|
|
|
иначальным данным v(x0) = @y0( )=@ j;
2)вектор функция '(i)(x) = @y(x; x0; y0; )=@yi0 для 8 i = 1; n удовлетворяет линейной однородной системе порядка n
u0 = |
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) |
u |
(3:18) |
|
|||
|
@y |
|
иначальным данным u(x0) = e(i) (e(i) = (0; : : : ; 1i; : : : ; 0));
3)вектор функция (x) = @y(x; x0; y0; )=@x0 удовлетворяет системе (3.18) и начальным данным u(x0) = f(x0; y0; ):
Df. Линейные системы (3.17) и (3.18) называются системами в вариациях вдоль решения y(x; x0; y0; ):
Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование частных производных решения при выполнении условий теоремы доказывается путем непосредственного вычисления предела приращения функции к приращению аргумента и здесь приведено не будет. Это чисто техническое рассуждение при желании можно найти практически в любом учебнике по ОДУ.
Перейдем к доказательству неформальной части теоремы. Подставляя решение y(x; x0; y0; ) в систему (3.15), получаем
@ |
|
x |
|
|
y(x; x0; y0 |
; ) f(x; y(x; x0; y0; ); ): |
(3:19) |
@x |
34
В. В. Басов |
Курс лекций по ОДУ |
1)Поскольку в F существуют и непрерывны fy0(x; y; ); f0 (x; y; )
иy0 (x; x0; y0; ); левую и правую (как сложную функцию) части тождества (3.19) можно продифференцировать по компоненте j;
т. е. найти их частные производные по j : |
@ @ |
y(x; x0; y0; ) = |
|||
|
|
|
|||
@ j @x |
|||||
|
|
|
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) |
|
@ |
y(x; x0; y0; ) + |
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) |
: |
@y |
|
|
||||
|
|
@ j |
@ j |
Правая часть полученного равенства непрерывна по x и j как композиция непрерывных функций, следовательно и левая часть непрерывна, а значит, во второй смешанной производной дифференцирование по x и по j можно поменять местами. После этого становится очевидным, что функция (j)(x) = @y(x; x0; y0; )=@ j (j = 1; m) удовлетворяет системе в вариациях (3.17).
При этом в силу независимости переменных x и в частной производной решения по j можно выбрать x равным x0: Тогда
(j)(x0) = @y(x0; x0; y0; )=@ j = @y0( )=@ j:
2) По соображениям аналогичным тем, которые приведены в 1), левую и правую части тождества (3.19) можно продифференциро-
вать по компоненте начального данного yi0; |
получая равенство: |
||||||||
|
@ @ |
y(x; x0; y0; ) = |
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) @ |
y(x; x0; y0; ): |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
@yi0 @x |
@y |
@yi0 |
|||||||
|
|
Меняя в левой части порядок дифференцирования, заключаем, что функция '(i)(x) = @y(x; x0; y0; )=@yi(0) (i = 1; n) удовлетворяет
системе в вариациях (3.18).
Кроме того, '(i)(x0) = @y(x0; x0; y0; )=@yi(0) = @y0=@yi(0) = e(i);
поскольку компоненты y1(0); : : : ; yn(0) не зависят друг от друга.
3) Дифференцируя теперь тождество (3.19) по начальному данному x0 и меняя порядок дифференцирования в левой части, устанавливаем, что функция (x) = @y(x; x0; y0; )=@x0 также удовлетворяет системе в вариациях (3.18).
Остается только вычислить (x0): Но зафиксировать в частной производной решения по x0 аргумент x равным x0 нельзя, так как x0 в рассматриваемом случае оказалась не константой, а независимой переменной, по которой и берется частная производная.
Поэтому придется использовать тождество y(x0; x0; y0; ) = y0:
35
Дифференцируя его по x0; получаем |
|
|
|||||||
|
@y(x; x0; y0; ) |
|
@y(x; x0; y0; ) |
||||||
|
@x |
|
|
x=x0 + |
@x0 |
= 0: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(3.19) первое |
слагаемое |
|
полученного равенства равно |
|||||
f(x; y(x; x0; y0; ); )jx=x0 |
и равно f(x0; y0; ); |
а второе – это (x0): |
|||||||
Отсюда (x0) = f(x0; y0; ): |
|
|
|
|
Если допустить, что в системе (3.15) функция f(x; y; ) имеет большую чем единица гладкость по y и ; то естественно ожидать, что и решение y = y(x; x0; y0; ) системы (3.15) можно большее число раз продифференцировать по начальным данным и параметрам.
Теорема (о существовании у решения производных высших порядков). Пусть в системе (3.15) функция f(x; y; ) 2 Cx;y;0;k;k(F );
тогда решение системы (3.15) y = y(x; x0; y0; ) 2 C1;k;k;k (D):
x;x0;y0;
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем его методом математической индукции по степени гладкости k функции f:
База индукции уже имеется, так как при k = 1 справедлива теорема о дифференцируемости по начальным данным и параметрам.
Используем теперь доказываемую теорему в качестве индукцион-
ного предположения, т. е. считаем, что y(x; x0; y0 |
1;k;k;k |
|||
; ) 2 Cx;x0;y0; (D): |
||||
0;k+1;k+1 |
(F ): |
|
|
|
Пусть в системе (3.15) f 2 Cx;y; |
|
|
|
|
Тогда матрица линейной части |
@f(x; y(x; x0; y0; ); ) |
и неодно- |
||
|
||||
|
|
@y |
|
|
родность @f(x; y(x; x0; y0; ); ) линейных систем в вариациях (3.17)
@ j
и (3.18) как производные сложных функций оказываются функциями k раз непрерывно дифференцируемыми по параметрам x0; y0; ; поскольку таковыми по индукционному предположению является
решение y(x; x0; y0; ) и все функции fy0i; f0 j :
Применяя теперь индукционное предположение непосредственно к линейным системам в вариациях, заключаем, что функции
(j)(x) = @y(x; x0; y0; )=@ j; '(i)(x) = @y(x; x0; y0; )=@yi0; (x) =
@y(x; x0; y0; )=@x0; являющиеся решениями соответствующей системы (3.17) или (3.18), k раз непрерывно дифференцируемы по x0; y0; : А значит, само решение y(x; x0; y0; ) системы (3.15) дифференцируемо по каждой из этих переменных (k + 1) раз.
36
В. В. Басов Курс лекций по ОДУ
30: Аналитичность решений нормальной системы по начальным данным и параметрам.
Рассмотрим, наконец, нормальную систему (3.15) y0 = f(x; y; ) с непрерывной в области F = G M функцией f в предположении, что для всякой точки (x0; y0; 0) 2 F функция f(x; y; ) является вещественно-аналитической функцией переменных y; в некоторой окрестности точки (y0; 0):
Иными словами, в поликруге Kr(y0; 0) = f(y; ) j jjy y0jj < r; jj 0jj < rg радиуса r с центром (y0; 0) вещественная функция f допускает разложение в абсолютно сходящийся степенной ряд:
f(x; y; ) = |
Xp;q=0 f |
(p;q) |
(x)(y y |
) |
( s) |
; |
s1 |
sl |
|||
|
1 |
|
0 |
p |
|
0 |
q |
|
|
|
|
где p = (p1; : : : ; pn); q = (q1; : : : ; qm); |
pi; qj |
2 Z+; |
z |
= z1 |
: : : zl ; |
векторные коэффициенты f(p;q)(x) – это вещественные непрерывные функции в некоторой окрестности точки x0:
Теорема Ляпунова–Пуанкаре (о разложении решения в ряд по степеням начальных данных и параметров). Пусть в системе (3.15) выполнены предположения, сделанные выше для f(x; y; ); и пусть система (3:150) y0 = f(x; y; 0) имеет решение y = '(x; 0); определенное на отрезке [a; b]: Тогда 9 > 0 такое, что решение системы (3.15) y = y(x; x0; y0; ) определено и непрерывно на множестве [a; b] [a; b] K ('(x0); 0) и для любых x; x0 2 [a; b] является вещественно-аналитической функцией переменных y0; в
поликруге K ('(x0); 0) = f(y0; ) j jjy0 '(x0)jj < ; jj 0jj < g;
т. е. y = y(x; x0; y0; ) раскладывается сходящийся степенной ряд:
y(x; x0; y |
; ) = |
Xp;q=0 y |
(p;q) |
(x; x0)(y |
0 |
'(x0)) |
( |
) |
; |
0 |
|
1 |
|
p |
0 |
q |
|
где коэффициенты y(p;q)(x; x0) непрерывны по x; x0 2 [a; b]:
Доказательство теоремы см., например, в книге Ю. Н. Бибикова "Курс обыкновенных дифференциальных уравнений изд-во "Лань" СПб-Москва-Краснодар, 2011 (Гл. VI, § 2).
37
40: Аналитичность решений нормальной системы по независимой переменной.
До сих пор, рассматривая систему (3.15) y0 = |
f(x; y; ); |
мы |
последовательно улучшали зависимость функции f |
от y и от |
; |
получая улучшение свойств решений по начальным данным и параметрам, не затрагивая при этом зависимость f от x:
Здесь этот пробел будет восполнен, причем поскольку зависимость f от параметра непосредственно использоваться не будет, вернемся к рассмотрению исходной системы (3.1) y0 = f(x; y):
Теорема Коши (об аналитичности решения задачи Коши аналитической системы). Пусть в системе (3.1) f(x; y) является ана-
литической функцией |
x; y |
в области G; т. е. для любой точки |
||||||||||
(x0; y0) 2 G |
функция |
f |
раскладывается в этой точке в сходя- |
|||||||||
1 |
n |
|
|
i 2 Z+ |
|
с |
1 |
(k;p) |
k |
0 |
0 p |
|
|
|
|
P |
|
|
|
||||||
щийся степенной ряд: |
|
f(x; y) = k;p=0 f |
|
(x x0) (y y ) ; где |
||||||||
p = (p ; : : : ; p |
|
); |
p |
|
|
; |
|
радиусом сходимости r = r(x ; y0) > 0: |
||||
Тогда решение системы |
y |
= y(x; x0; y0) |
раскладывается в точке |
x0 в сходящийся степенной ряд: |
|
(x x0) |
|
|
||
y(x; x0; y |
) = |
Xm=0 a |
(m) |
m |
; |
|
0 |
|
1 |
|
|
в котором a(0) = y0 и радиус сходимости которого = (x0) вне зависимости от величины r может быть достаточно мал.
Доказательство теоремы см., например, в книге Ю. Н. Бибикова "Курс обыкновенных дифференциальных уравнений изд-во "Лань" СПб-Москва-Краснодар, 2011 (Гл. VI, § 4).
38