1 лекция геометрия
.pdf
2. Линейные операции над векторами
Рассмотренные операции сложение векторов и умножение вектора на вещественное число называются линейными операциями над векторами.
Упражнение
Найти некоторый вектор, идущий по биссектрисе угла,
! !
образованного векторами a è b .
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Определение
! ! !
Выражение 1 a1 + 2 a2 + ::: + n an называется линейной комбинацией векторов, а вещественные числа 1; 2; :::; n коэффициентами линейной комбинации.
Если вектор ! |
|
n |
i !i |
! |
|
; a2P; |
|||||
по векторам a1 |
n |
p разложен |
|||
p = |
|
a , то говорят, что вектор |
|||
|
i=1 |
! |
|
||
! ! |
|
|
|||
|
|
:::; a . |
|
||
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Определение
! ! !
Выражение 1 a1 + 2 a2 + ::: + n an называется линейной комбинацией векторов, а вещественные числа 1; 2; :::; n коэффициентами линейной комбинации.
Если вектор |
! |
|
n |
!i |
! |
|
P i |
||||
|
p |
= |
|
a , то говорят, что вектор |
p разложен |
! !i=1 !
по векторам a1 ; a2 ; :::; an .
Определение
Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если1 = 2 = ::: = n = 0, а если существует такое k, для которого k 6= 0, то нетривиальной.
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Определение
! ! !
Векторы a1 ; a2 ; :::; an называются линейно зависимыми, åñëè
существует их нетривиальная линейная комбинация, равная
!
нулевому вектору 0 .
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Определение
! ! !
Векторы a1 ; a2 ; :::; an называются линейно зависимыми, åñëè
существует их нетривиальная линейная комбинация, равная
!
нулевому вектору 0 .
Определение
! ! ! |
|
|
|
Векторы a1 ; a2 ; :::; an называются линейно независимыми, |
|||
n |
!i |
! |
|
если равенство P i |
|
||
|
a |
= 0 |
возможно лишь в случае, когда |
i=1
все вещественные числа 1; 2; :::; n равны нулю.
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Определение
! ! !
Векторы a1 ; a2 ; :::; an называются линейно зависимыми, åñëè
существует их нетривиальная линейная комбинация, равная
!
нулевому вектору 0 .
Определение
|
! ! ! |
|
|
|
|
|
|
Векторы a1 ; a2 ; :::; an называются линейно независимыми, |
|||||||
если равенство |
n |
a = ! |
|
|
|||
|
|
|
|||||
âñå |
|
i |
!i |
1; 2; :::; n равны нулю. |
|||
|
P |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
возможно лишь в случае, когда |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
вещественные числа |
|
|
|
|
||
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
1) нулевой вектор ! |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
это линейно зависимая система, |
||||
состоящая из одного вектора |
! |
|
|||||
2) любой ненулевой вектор |
a |
0 ; |
! |
||||
= |
|||||||
|
|
|
|
|
! 6 |
0 это линейно независимая |
|
!
система, состоящая из одного вектора a .
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Теорема
! ! !
Если среди векторов a1 ; a2 ; :::; an существует линейно зависимая подсистема, то все n векторов линейно зависимы.
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Теорема
! ! !
Если среди векторов a1 ; a2 ; :::; an существует линейно зависимая подсистема, то все n векторов линейно зависимы.
Следствие
! ! !
Если среди векторов a1 ; a2 ; :::; an существует хотя бы один нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Теорема
! ! !
Если среди векторов a1 ; a2 ; :::; an существует линейно зависимая подсистема, то все n векторов линейно зависимы.
Следствие
! ! !
Если среди векторов a1 ; a2 ; :::; an существует хотя бы один нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Следствие
! ! !
Если векторы a1 ; a2 ; :::; an линейно независимы, то и любая подсистема этих векторов также линейно независима.
Аналитическая геометрия
3. Линейная зависимость и независимость векторов
Теорема
! ! !
Для того, чтобы векторы a1 ; a2 ; :::; an были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было разложить по оставшимся.
Аналитическая геометрия