1 лекция геометрия
.pdf
1. Векторы
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы равны, если равны их длины и они являются |
! |
|||||||||
сонаправленными, то есть |
a = |
! |
, j!j |
|
j |
! |
j |
! |
"" |
|
|
! |
b |
= |
b |
b . |
|||||
|
|
a |
|
|
; a |
|
||||
Равенство векторов определено с точностью до положения их в пространстве. Иными словами, мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения!
Определение |
! |
! |
"" |
! |
|
Вектор ! |
|||||
j!j |
e называется ортом вектора |
a , åñëè |
a |
|
e , |
= 1. |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
Определение
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Определение
Суммой векторов, следующих друг за другом , называется вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.
! ! ! ! ! s = a + b + c + d
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Определение
Суммой векторов, следующих друг за другом , называется вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.
! ! ! ! ! s = a + b + c + d
Свойства суммы векторов: |
|
|
||||||
|
a + |
! |
! |
! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
(коммутативность) |
|||
1 |
|
b = b + a |
||||||
a + (! |
|
|
|
! |
|
|||
|
! |
|
|
! |
|
! |
|
! |
2 |
|
|
b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность) |
|||||
|
a + |
! |
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
(особая роль нулевого вектора) |
||||
3 |
|
0 = a |
||||||
|
a |
9 |
! |
! |
! |
! |
|
|
|
8! |
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
b : a + b = 0 (существование противоположного |
|||||
вектора)
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Определение |
|
|
|
a |
! |
|
|||
|
|
|
двух векторов |
! |
|||||
Разностью |
|
|
|
|
! |
|
|||
|
|
|
|
|
и b называется вектор c : |
||||
a |
= ! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b + c . |
|
|
! |
|
|
|
||
Обозначение: |
c |
= a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Определение |
|
|
|
a |
! |
|
|||
|
|
|
двух векторов |
! |
|||||
Разностью |
|
|
|
|
! |
|
|||
|
|
|
|
|
и b называется вектор c : |
||||
a |
= ! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b + c . |
|
|
! |
|
|
|
||
Обозначение: |
c |
= a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
ßñíî, ÷òî c = a |
! |
! |
|
! |
! ! |
b |
b ) |
||
|
= a + ( |
|
Поэтому, в силу определения суммы векторов, разность двух векторов это вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого.
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Определение
Произведением вектора |
! |
||||||
a на вещественное число |
|||||||
называется вектор |
! |
|
|
||||
1) |! |
|
|
! |
p , определяемый следующим образом: |
|||
p | = | || a | |
|
|
|
||||
2) åñëè |
a |
= |
! |
|
! "" |
! |
|
|
! |
6 |
|
0 , òî |
|||
! "# |
! |
|
|
p |
a , åñëè > 0, è |
||
p |
a , åñëè < 0. |
|
|||||
|
|
|
|
a |
= |
! |
! ! |
Åñëè = 0 èëè |
! |
|
|
||||
|
|
0 , то вектор p = a нулевой. |
|||||
! !
Обозначение: p = a
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Определение
Произведением вектора |
! |
|
|
|
||||||
a на вещественное число |
||||||||||
называется вектор |
! |
|
|
|
|
|||||
1) |! |
|
|
! |
p , определяемый следующим образом: |
||||||
p | = | || a | |
|
|
|
|
|
|||||
2) åñëè |
a |
= |
! |
! "" |
! |
|
|
|
||
|
! |
6 |
|
|
|
|
|
|||
! "# |
! |
|
|
0 , òî p |
a , åñëè > 0, è |
|
|
|||
p |
a , åñëè < 0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
= ! |
! |
! |
|
|
|
Åñëè = 0 èëè |
! |
|
|
|
||||||
|
0 , то вектор p = a нулевой. |
|||||||||
Обозначение: ! |
! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p = a |
|
|
|
! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||
Вычисление орта произвольного вектора |
a : ea |
= |
a |
|||||||
j!j |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Свойства произведения вектора на число : |
||
|
( ! |
! |
1) |
a ) = ( ) a |
|
(ассоциативность относительно числовых сомножителей)
! ! !
2) ( + ) a = a + a
(дистрибутивность векторного сомножителя относительно
суммы чисел)
! ! ! !
3) ( a + b ) = a + b
(дистрибутивность числового сомножителя относительно
суммы векторов)
! !
4) 1 a = a
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Свойства произведения вектора на число : |
||
|
( ! |
! |
1) |
a ) = ( ) a |
|
(ассоциативность относительно числовых сомножителей)
! ! !
2) ( + ) a = a + a
(дистрибутивность векторного сомножителя относительно
суммы чисел)
! ! ! !
3) ( a + b ) = a + b
(дистрибутивность числового сомножителя относительно
суммы векторов)
! !
4) 1 a = a
Теорема |
= ! |
|
! |
|
|
|
|
||
Пусть a |
! |
|
|
|
|
||||
! |
6 |
0 . Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a è b |
коллинеарны тогда и только |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
: |
! |
! |
тогда, когда существует вещественное число |
|
b = a , |
|||||||
причем для заданных векторов |
a |
! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
! |
и b число определяется |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
однозначно.
Аналитическая геометрия
2. Линейные операции над векторами
Рассмотренные операции сложение векторов и умножение вектора на вещественное число называются линейными операциями над векторами.
Аналитическая геометрия