Вполне непрерывные операторы. Примеры
.pdf
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ. Вполне непрерывные операторы. Примеры
Задача 1. Является ли вполне непрерывным оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], такой что:
|
1 |
y(t) |
|
|
|
||
Ay = 0 |
|
|
dt? |
|
|x − t| |
||
Решение. Указанный оператор не является вполне непрерывным выберем такую
|
1 |
1 |
|
ограниченную последовательность: yN (x) = 1, x [0, 1]. Заметим, что AyN = |
|
dt |
|
0 |
|X−T| |
есть расходящийся интеграл. Таким образом, оператор не является ограниченным, следовательно, не является и вполне непрерывным.
Задача 2. Является ли вполне непрерывным оператор A : L2[0, 1] → L2[0, 1], такой
что:
1
Ay = y(t2)dt?
0
Решение. Покажем, что этот оператор не является ограниченным, а следовательно,
не может быть вполне непрерывным. Выберем последовательность yN (x) = n− |
1 |
1 |
− |
1 |
|||||||||
2 x |
|
2 . |
|||||||||||
2N |
|||||||||||||
Заметим, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
||yN ||2 = |
|
|
t N |
−1dt = |
|
n(1 − 0) = 1, |
|
|
|
|
|||
|
n |
n |
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. последовательность yN ограниченная. Но: |
|
|
|
|
|||||||||
AyN |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n− 2 t N −1dt = √n, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0
следовательно, ||AyN || = √n. Таким образом, A не является ограниченным. Следовательно, не является вполне непрерывным.
Задача 3. Будет ли являться вполне непрерывным оператор A : C2[0, 1] → C[0, 1],
если
Ay = dy(x) ? dx
Решение. Пусть {yN (x)} произвольная ограниченная последовательность элементов пространства C2[0, 1]. В силу ограниченности, существует такое положительное число R, что
||yN || = |
MAX |
|
( ) + MAX |
′ |
|
|
|
MAX |
|y |
′′ |
|
N |
|
||
X [0,1] |
|y x | |
X [0,1] |
|y |
(x)| + X [0,1] |
|
(x)| ≤ R, n . |
|
||||||||
Отсюда следует, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MAX |
|
′ |
(x)| ≤ R, |
MAX |
|y |
′′ |
(x)| ≤ R, n |
N |
(1) |
|||||
|
X [0,1] |
|y |
X [0,1] |
|
. |
||||||||||
Рассмотрим последовательность {AyN } = {yN′ (x)}. Очевидно, что в силу (1) эта последовательность является равномерно ограниченной.
1
Покажем равностепенную непрерывность {AyN }. Пусть задано ε > 0. Выберем δ > 0 таким образом, что δ ≤ ε/R. В силу непрерывности {yN′ } для любых двух точек x1, x2 [0, 1], таких, что выполняется неравенство |x1 − x2| < δ, можем применить формулу конечных приращений и производя оценку по модулю, получим:
|yN′ (x1 ) − yN′ (x2)| ≤ |yN′′(ξ)||x1 − x2| < Rδ ≤ ε, |
(2) |
где ξ (x1, x2). Поскольку выбор δ определяется только величиной ε, из (2) можем сделать утверждение о равностепенной непрерывности {yN′ }. По теореме Арцела, указанная последовательность является компактной. В силу произвольности {yN } можем сделать вывод о том, что оператор A вполне непрерывен.
Литература:
1. Городецкий В. В., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П. - Методы решения задач по функциональному анализу. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ 2010 г. 480 с.
Уважаемые студенты! Убедительная просьба о всех обнаруженных ошибках, опечатках и т.п. сообщать по адресу: gera1983k@bk.ru.
2