НО_лекция--10

взаимной простоты d и p~ следует, что p~ не делится на d, но это противоречит предположению p~jj d, следовательно, любой делитель d (deg d > 0) многочлена p~ делится на один из неприводимых многочленов p1; p2; : : : ; ps:

3) Докажем, что многочлен h не может делиться ни на один из неприводимых многочленов p1; p2; : : : ; ps. Предположим противное. Положим, не умаляя общности, что hjj p1 ) h = up1; u 2 P [t] и придем к противоречию. Подставим это представление h в (19) и перенесем в левую часть все слагаемые, содержащие p1:

up1 p1v = a0k1p01p2p3 : : : ps; u; v 2 P [t]:

Это равенство невозможно, так как его левая часть делится на p1, а правая часть не делится. Действительно, многочлен p2p3 : : : ps взаимно прост с p1, как произведение взаимно простых с p1 многочленов. Поэтому, если предположить, что правая часть a0k1p01p2p3 : : : ps делится на p1, то в соответствии с утв. 5 лекции 9 многочлен a0k1p01

должен делиться на p1. Но a0k1p01 6jj p1, так как a0k1p01 6= O и deg a0k1p01 < deg p1. Полученное противоречие доказывает 3). Это завершает доказательство утверждения.

/

Утверждение 10. Наибольший общий делитель многочленов f = a0pk11 : : : pkss (17) и f0 (18) равен многочлену = pk11 1pk22 1 : : : pkss 1.

Доказательство. Воспользуемся критерием наибольшего общего делителя. Из формул (19) имеем:

член d , являющийся общим делителем f и f0. Докажем выполнение второго условия.

up~ + vh = ) uf + vf0 = ) ud q1 + vd q2 = :

Из последнего равенства следует, что jj d . Таким образом, для многочлена оба условия критерия н.о.д. f и f0 выполнены, следовательно, = н.о.д. f и f0. /

Нетрудно видеть, что многочлен p~ = f , являющийся частным от деления многочлена f на многочлен =н.о.д.(f; f0), будет состоять из неприводимых многочленов, входящих в многочлен f, но только в первой степени (19):

p~ = a0p1p2 : : : ps:

11

Вывод 2. Многочлен p~ = f не содержит кратных корней и имеет те же корни, что и многочлен f. /

На этом выводе основан алгоритм отделения кратных корней многочлена f. Задача сводится к более простой задаче определения корней многочлена p~, степень которого может быть существенно меньше степени f. После того, как найдены корни c1; : : : ; ck многочлена p~ и, соответственно, многочлена f, их кратность, как корней многочлена f, можно определить, например, по схеме Горнера. /

Алгоритм отделения кратных корней многочлена f

Ищется производная f0.

Ищется d = н.о.д. (f; f0).

Ищется многочлен f1 = fd , который, как доказано, не содержит кратных корней и его корни совпадают с корнями многочлена f.

Ищутся корни многочлена f1 и тем самым определяются корни f.

Находится кратность корней многочлена f (например, по схеме Горнера).

Пример. Отделить кратные множители многочлена

f = x6 6x4 4x3 + 9x2 + 12x + 4.

Решение.

1.Ищем производную многочлена f = x6 6x4 4x3 + 9x2 + 12x + 4, она равна f0 = 6x5 24x3 12x2 + 18x + 12.

2.Ищем с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель d = (f; f0). Для удобства вычислений можно искать (f; 16 f0), так как н.о.д. двух многочленов

определяется с точностью до постоянного множителя. Несложные вычисления приводят к равенству d = (f; f0) = x4 + x3 3x2 5x 2.

3. Ищем многочлен f1 = fd . В результате деления “уголком” находим:

f1 = x2 x 2:

4.Ищем корни многочлена f1, которые должны совпадать с корнями многочлена f. Нетрудно видеть, что x1 = 1, x2 = 2.

5.Определяем кратность найденных корней многочлена f. Например, для опре-

деления кратности x1 можно воспользоваться схемой Горнера, деля последовательно многочлен f и неполные частные на (x x1) до первого ненулевого остатка. Номер последнего нулевого остатка в этой схеме деления равен кратности корня x1 много-

члена f, так как при этом выполняются условия: f делится на (x x1)k и не делится на (x x1)(k+1). Действительно:

(21)

12

Из равенств (21) следует: f = (x x1)kfk; fk 6jj (x x1) при

r1 = r2 = : : : = rk = 0; rk+1 6= 0:

Эти условия означают, что f jj (x x1)k и f 6jj (x x1)k+1, т.е. x1 корень f кратности k, где k номер последнего нулевого остатка.

Кратность s второго корня x2 = 2 многочлена f проще определить из равенства s = deg f k, так как f = (x x1)k(x x2)s ) deg f = k + s:

Выпишем для рассматриваемого примера результат применения схемы Горнера для определения кратности корня x1 = 1 многочлена f.

Из этой таблицы следует, что x1 = 1 является для многочлена f корнем 4-й кратности. Следовательно, кратность корня x2 = 2 равна 2.

Ответ: f = (x + 1)4 (x 2)2. /

Замечание 1. Кратность корня можно находить иначе. Скаляр c 2 P является корнем кратности k многочлена f тогда и только тогда, когда для k > 1 выполняются

условия

f(c) = f0(c) = : : : = f(k 1)(c) = 0; f(k)(c) 6= 0:

Определим кратность корня x1 = 1 для многочлена f в рассмотренном примере, вычисляя значения производных f при x1 = 1. Нетрудно видеть, что

f( 1) = f0( 1) = f(2)( 1) = f(3)( 1) = 0; f(4)( 1) 6= 0:

Из этих условий следует, что кратность корня x1 = 1 многочлена f равна 4. /

Читателям рекомендуется, пользуясь материалом 10-й лекции, самостоятельно решить задачи 2.18–2.30, 2.40–2.45 из второго параграфа книги “Практические занятия по алгебре. Комплексные числа. Многочлены”. В случае затруднений можно обратиться к приведенным в книге подробным решениям.

13