- •Раздел 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
- •Раздел 2. Элементы теории поля
- •Раздел 3. Теория функций комплексной переменной
- •Вычислить.
- •Раздел 4. Операционное исчисление
- •Решение типовых заданий
- •6. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля
- •7. Вычислить
- •10. Вычислить производную аналитической функции в точке
- •11. Решить задачу Коши операционным методом.
- •13. Найти изображение для оригинала .
- •14. Восстановить оригинал по его изображению
- •Литература
Типовые задания, решения вариантов типовых заданий и литература
для самостоятельной подготовки к экзамену (зачету, тесту) по
математике, 3 семестр для студентов заочной (сокращенной) формы
обучения инженерно-технических специальностей
Раздел 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
-
Вычислить площадь плоской области , ограниченной данными линиями. Построить область .
1.1. 1.2. 1.3.
1.4. 1.5.
-
Найти работу (циркуляцию) силы при перемещении вдоль линии (контура ) от точки к точке .
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Раздел 2. Элементы теории поля
-
Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля .
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5.
Раздел 3. Теория функций комплексной переменной
-
Вычислить
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5.
-
Вычислить интеграл, используя основную теорему теории вычетов. Построить контур интегрирования.
5.1. 5.2. 5.3.
5.4. 5.5.
-
Вычислить производную аналитической функции в точке
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5.
-
Вычислить.
7.1. 7.2. 7.3.7.4.7.5.
Раздел 4. Операционное исчисление
-
Решить задачу Коши операционным методом.
8.1. 8.2. 8.3.
8.4. 8.5.
-
Найти изображение для оригинала .
9.1.9.2.9.3.
9.4.9.5.
-
Восстановить оригинал по его изображению .
10.1. 10.2.
10.3. 10.4.
10.5.
Решение типовых заданий
Типовые задания 1–10 предназначены для студентов заочной (сокращенной)
формы обучения инженерно-технических специальностей.
При решении типовых заданий 1–10 студенты должны использовать методические пособия [1]–[8].
1. Вычислить площадь плоской области , ограниченной линиями
. Построить область .
Решение. Строим график функции (прямая). Находим: Строим график функции (парабола). Находим нули параболы: Так как , то ветви параболы направлены вверх (рис. 1). Находим точки пересечения графиков функций:
Тогда площадь плоской области вычисляется с помощью двойного интеграла, который выражается через повторный:
Рис.1.
2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями, .
Решение. Область интегрирования (рис. 2) ограничена сверху параболой , а снизу прямой . Пределы интегрирования и
определяются из системы уравнений:
Отсюда получаем уравнение:
или , которое имеет корни , . Таким образом, пределы интегриро-
вания , . Тогда площадь плоской области вычисляется с по-
мощью двойного интеграла, который выражается через повторный:
3. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .
Решение. Работа силы при перемещении вдоль линии от точки к точке находится по формуле
Так как на кривой , то причем точке от-
вечает значение , а точке отвечает значение . Тогда получим:
4. Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке .
Решение. Работа силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке находится по формуле
Запишем каноническое уравнение прямой , проходящей через точки и :
Отсюда следует параметрическое уравнение прямой :
Тогда получим:
5.Найти циркуляцию силы при перемещении вдоль контура
(обход по контуру происходит против часовой стрелки).
Решение. Циркуляция силы при перемещении вдоль контура
находится по формуле
Точки пересечения линий и находим из системы уравнений:
На кривой меняется от до , а на кривой
меняется от до . Тогда получим: