Тр номер 2(математика)
.pdf4141
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Часть 2
Типовой расчет
УДК 513.
Комплексные числа. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Часть 2: Типовой расчет / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; сост.: В.В. Гришина, Н.В. Ёлкина, Т.Л. Львова, С.Н. Орлова, Т.И. Дорофеева, С.С. Крыгина, Т.А. Поскрякова, Е.А. Сюсюкалова. – Рязань, 2009. 40 с.
Содержатся задачи по разделам: векторная алгебра, аналитическая геометрия, кривые второго порядка, поверхности.
Предназначены для студентов всех специальностей дневного и заочного форм обучения.
Вектор, плоскость, прямая, кривые 2-го порядка, полярная система координат, поверхность
Печатается по решению методического совета Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав. кафедрой канд. физ-мат. наук, доц. К.В. Бухенский)
Рязань 2009
Задача 15
а) показать, что векторы p , q , r образуют базис. Найти координаты вектора x в этом базисе;
б) проверить коллинеарность векторов c1 и c2 .
15.1.а) x = (1,1,1), p = (3,0,−1), q = (2,2,2), r = (1,0,1); б) a = (3,5,7), b = (1,2,1), c1 = a + b , c2 = 2a − b .
15.2.а) x = (2,1,1), p = (0,3,−1), q = (−2,1,2), r = (−1,0,−1); б) a = (2,3,4), b = (3,4,4), c1 = a + b , c2 = 2a + 2b .
15.3.а) x = (−1,1,−1), p = (−1,0,3), q = (2,−2,−2), r = (0,1,1); б) a = (−6,3,3), b = (2,−2,−2), c1 = 3a + b , c2 = a + b .
15.4.а) x = (2,3,1), p = (3,1,2), q = (1,3,2), r = (2,1,3); б) a = (3,1,1), b = (5,0,3), c1 = a −2b , c2 = a + 2b .
15.5.а) x = (2,0,5), p = (1,1,1), q = (−2,0,3), r = (0,1,−1); б) a = (3,2,1), b = (−5,4,0), c1 = 3a −3b , c2 = a − b .
15.6.а) x = (5,0,2), p = (1,3,5), q = (3,0,−2), r = (1,−1,0); б) a = (3,2,1), b = (−5,4,0), c1 = a + 2b , c2 = 2a + b .
15.7.а) x = (0,5,2), p = (5,3,1), q = (0,3,−2), r = (−1,1,0); б) a = (3,7,5), b = (1,3,5), c1 = 4a −3b , c2 = a +3b .
15.8.а) x = (2,0,5), p = (3,1,5), q = (−2,3,0), r = (0,1,−1); б) a = (0,3,2), b = (1,−2,1), c1 = 5a − b , c2 = a +5b .
15.9.а) x =(3,2,1), p = (1,3,2), q = (2,3,7), r = (3,1,2); б) a = (1,2,3), b = (2,3,1), c1 = 3a − b , c2 = a +3b .
15.10.а) x = (1,−1,1), p = (0,3,2), q = (−1,3,7), r = (−3,1,2);
б) a = (2,3,5), b = (−1,3,8), c1 = 5a +5b , c2 = −a − b . 15.11. а) x = (0,1,2), p = (2,3,0), q = (2,7,2), r = (−3,0,2);
б) a = (8,3,1), b = (2,6,1), c1 = a + 4b , c2 = 4a − b .
15.12.а) x = (2,1,0), p = (0,3,2), q = (−1,3,−1), r = (− 2,−2,2); б) a = (6,1,2), b = (−1,0,1), c1 = 5a + b , c2 = 5a − b .
15.13.а) x = (1,0,2), p = (3,2,0), q = (1,−3,1), r = (2,2,−2);
б) a = (−2,−1,−2), b = (2,3,8), c1 = 3a − b , c2 = a +3b .
15.14.а) x = (1,4,1), p = (3,2,5), q = (0,3,1), r = (1,2,2); б) a = (3,1,3), b = (2,1,2), c1 = a + b , c2 = a + 4b .
15.15.а) x = (−1,4,−1), p = (−1,2,5), q = (1,1,1), r = (2,2,1); б) a = (1,7,2), b = (3,0,5), c1 = a + 2b , c2 = a −2b .
15.16.а) x = (3,0,2), p = (−1,2,−1), q = (2,1,1), r = (1,1,3);
б) a = (2,7,1), |
|
|
= (5,0,3), c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
= a + 2b |
, c2 = −a −2b |
. |
||||||||
15.17. а) x = (7,3,1), p = (1,1,1), q = (−2,1,2), r = (3,1,1); |
|||||||||||
б) a = (7,1,2), |
|
= (0,3,5), c1 |
= 3a + |
|
|
|
|
||||
b |
b |
, c2 = a −3b |
. |
15.18.а) x = (1,7,3), p = (0,1,1), q = (1,−2,−1), r = (1,3,1); б) a = (7,2,1), b = (0,5,3), c1 = a − b , c2 = a + b .
15.19.а) x = (3,1,7), p = (1,0,1), q = (1,1,1), r = (−1,2,1);
б) a = (3,5,4), b = (5,2,0), c1 = a − b , c2 = −4a + 4b .
15.20.а) x = (1,3,1), p = (2,1,3), q = (3,2,5), r = (3,0,2); б) a = (5,3,4), b = (2,3,0), c1 = a −4b , c2 = a −3b .
15.21.а) x = (1,0,1), p = (−2,1,2), q = (3,1,3), r = (2,5,1);
б) a = (4,3,5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (0,2,3), c1 = 4a − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b |
b |
|
, c2 = a + 4b |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
15.22. а) x = (2,1,2), |
|
|
p = (3,1,1), q = (2,3,5), r = (5,3,2); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (4,5,3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3,0,2), c1 = a −4b |
|
, c2 = a + |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
15.23. а) x = (2,2,1), |
|
|
p = (1,1,3), q = (5,3,2), r = (2,3,5); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (2,2,2), |
|
|
|
|
|
|
= (1,2,0), c1 = a + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
b |
b |
, c2 = a −3b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.24. а) x = (1,2,2), |
|
|
p = (1,3,1), q = (3,2,5), r = (5,1,3); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (1,7,2), |
|
|
|
|
|
|
|
= (2,7,1), c1 = 3a +3b |
, |
c2 = a − |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.25. а) x = (2,3,4), |
|
|
|
p = (1,4,4), q = (2,3,2), r = (1,3,5); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (7,1,2), |
|
|
|
|
|
|
|
= (1,7,2), c1 = 3a − |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
b |
b |
c2 = −6a + 2b |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.26. а) x = (1,4,3), |
|
p = (4,1,4), q = (2,3,3), r = (5,3,1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (2,7,1), |
|
|
|
|
|
|
= (7,1,2), c1 = a −3b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
c2 = a +5b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.27. а) x = (3,1,4), |
|
p = (4,4,1), q = (3,3,2), r = (3,1,5); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (1,0,3), |
|
|
|
|
= (1,1,1), c1 = 5a + |
|
|
, c2 = a − |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.28. а) x = (4,1,3), |
|
p = (1,4,4), q = (1,3,3), r = (5,1,3); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (1,3,1), |
|
= (2,2,3), c1 = a +5b |
, |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
c2 = a −5b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.29. а) x = (5,−5,0), p = (1,1,1), q = (2,1,2), |
r = (3,0,1); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a = (3,2,5), |
|
|
|
|
= (5,1,1), c1 = 2a + 2b |
, |
c2 = 7a − |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.30. а) x = (−5,0,5), p = (1,2,3), q = (2,1,2), |
r = (3,5,4); |
б) a = (1,1,1), b = (3,7,1), c1 = a + b , c2 = −a − b .
15.31.а) x = (1,1,1), p = (1,1,2), q = (1,2,1), r = (2,1,1);
б) a = (5,3,1), b = (1,7,3), c1 = 2a −3b , c2 = a + b .
|
Задача 16 |
||||||||
16.1. Найти вектор |
x , коллинеарный вектору a = |
|
−2 |
|
|
|
|
||
i |
j −2k , |
||||||||
образующий с |
ортом |
|
|
||||||
j острый угол и имеющий длину |
x=15 .
16.2.Найти вектор x , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если x = 2 3 .
16.3.Найти вектор x , образующий с ортом j угол 60°, с ортом k – угол 120°, если x = 5 2 .
16.4.Найти вектор x , направленный по биссектрисе угла между
векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 7i |
−4 j −4k и b = 2i − j + 2k , если |
||||||||||||||
x = 5 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.5. Из одной и той же точки проведены векторы a = (−3;0;4)
и b = (5;−2;−14). Найти единственный вектор, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами a и b .
16.6. Даны модуль a = 5 и углы α = 45°, β = 60°, γ =120°.
Вычислить проекции вектора a на координатные оси и орт вектора a .
16.7. Вычислить направляющие косинусы вектора a = (1;5;−15).
Найти вектор, коллинеарный вектору a , направляющий в противоположную сторону и длиннее вектора a в три раза.
16.8. Вектор x составляет с осями OY и OZ соответственно углы β = 60°, γ =135°. Какой угол он составляет с осью
OX? Найти координаты вектора x , если модуль x = 3 .
16.9. Вектор a составляет с координатными осями OX и OZ углы α = 60°, γ =135°. Вычислить его координаты, если
a = 2 . Найти орт вектора a .
16.10. Даны a = 3, b = 5 , a + b = 19 . Найти a − b .
16.11.Даны a =11, b = 23, a −b =30 . Найти a + b .
16.12.Векторы a и b образуют угол , причем a = 5 , b = 7 .
Определить a + b , a − b .
16.13. Проверить коллинеарность векторов и b = (−12;4;−8).
Какой из них длиннее другого, во сколько раз, как они направлены?
16.14. Определить, |
при каких |
|
|
значениях α и |
β |
|
векторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = 2i |
|
|
+βk −3j и b = αi +12 j +8k коллинеарны. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.15. Проверить, что точки |
A(1;1;1), |
B(5;−4;8), |
C(3;2;1), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D(−5;12;−13) являются вершинами трапеции. |
a = (3;−1;3), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.16. Определить |
|
a + |
|
|
|
|
|
и |
|
a − |
|
|
|
|
векторов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (3;2;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
16.17. Найти проекции вектора a |
на |
оси координат, |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, A(0;0;1), B(2;2;1), C(4;3;5), D(3;6;3). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
+3CD |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.18. Даны радиусы-векторы |
|
|
|
вершин |
треугольника |
ABC: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
rA = |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j +3k , |
rB = 3i |
|
+ 2 j + k , |
rC = |
i |
+ 4 |
j + k . |
Показать, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что треугольник ABC равносторонний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.19. Вычислить модуль вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = |
|
+ 2 |
|
|
|
− 1 |
(4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) и найти его направляющие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j + |
k |
i |
+8j +3k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
косинусы. |
|
M1(1;2;3), M2 (3;−4;6). Найти длину и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.20. Даны |
|
|
|
точки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направляющие косинусы вектора |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M1M2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16.21. Дан |
вектор |
|
|
|
|
|
|
. |
Найти вектор |
|
|
, |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = 4i |
−2 j +3k |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
a |
|
, |
by = a y , |
|
bx = 0 , и найти направляющие косинусы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора b .
16.22. Радиус-вектор точки M составляет с осью OY угол 60°, а с осью OZ – угол 45°, его длина r =8 . Найти координаты точки M, если ее абсцисса отрицательна.
16.23. Дан вектор a = 2i +5j + k . Найти его проекцию на ось,
составляющую с осями координат равные острые углы. 16.24. Вектор a задан координатами своих концов A и B:
A(2;1;−4), B(1;3;2). Найти проекции вектора a на координатные оси и его направляющие косинусы.
16.25. Найти вектор x , коллинеарный вектору a = 2i −2 j + k , образующий с ортом k тупой угол и имеющий длину
x= 45 .
16.26.Радиус-вектор точки M составляет с осью OX угол 45°, с
осью OY – 60°, его длина |
|
r |
|
= 8 . Найти координаты |
||||
|
|
|||||||
вектора |
|
, зная, что |
третья координата точки M |
|||||
OM |
||||||||
отрицательна. |
|
|
|
= (2; −4). Найти косинус |
||||
16.27. Даны векторы a = (2; 2) |
и |
|
||||||
b |
||||||||
угла между векторами x и |
y , удовлетворяющими системе |
уравнений x +3y = a , x −3y = b .
16.28.Даны a =13, b =19 , a + b = 24 . Найти a − b .
16.29.Найти вектор a , образующий с ортом j угол 60°, с ортом i – 120°, если a = 3.
16.30.Найти вектор x , направленный по биссектрисе угла между векторами ) и b = (−1;2;−2), еслиa = (2;−3;6
x = 3 42 .
16.31. Дан вектор a = 7i + 2 j +5k . Найти длину и направляющие косинусы вектора a .
Задача 17. Умножение векторов
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) косинус угла между ребрами AB и AD; б) проекцию вектора
AC на вектор AD ; в) площадь грани ABC; г) объем пирамиды
ABCD. |
|
|
|
|
|
17.1. A(4;0;0) |
B(−2;1;2) |
C(1;3;2) |
D(3;2;7) |
||
17.2. A(− 2;1;2) |
B(4;0;0) |
C(3;2;7) |
D(1;3;2) |
||
17.3. A(1;3;2) |
B(3;2;7) |
C(4;0;0) |
D(−2;1;2) |
||
17.4. A(3;2;7) |
B(1;3;2) |
C(−2;1;2) |
D(4;0;0) |
||
17.5. A(3;1;−2) |
B(1;−2;1) |
C(−2;1;0) |
D(2;2;5) |
||
17.6. A(1;−2;1) B(3;1;−2) |
C(2;2;5) |
D(−2;1;0) |
|||
17.7. A(− 2;1;0) |
B(2;2;5) |
C(3;1;2) |
D(1;−2;1) |
||
17.8. A(2;2;5) |
B(−2;1;0) |
C(1;−2;1) |
D(3;1;2) |
||
17.9. A(1;−1;6) |
B(4;5;−2) |
C(−1;3;0) |
D(6;1;5) |
||
17.10. A(6;1;5) |
B(−1;3;0) |
C(4;5;−2) |
D(1;−1;6) |
||
17.11. A(−5;−1;8) |
B(2;3;1) |
C(4;1;−2) |
D(6;3;7) |
||
17.12. A(5;1;−4) |
B(1;2;−1) |
C(3;3;−4) |
D(2;2;2) |
||
17.13. A(1;1;1) |
B(2;3;4) |
C(4;3;2) |
D(3;2;4) |
||
17.14. A(1;1;2) |
B(2;3;−1) |
C(2;−2;4) |
D(−1;1;3) |
||
17.15. A(2;−3;5) |
B(0;2;1) |
C(− 2;−2;3) |
D(2;3;4) |
||
17.16. A(1;−3;−4) |
B(−1;0;2) |
C(2;−4;−6) |
D(1;1;1) |
||
17.17. A(2;1;−2) |
B(3;3;3) |
C(1;1;2) |
|
D(−1;−2;−3) |
|
17.18. A(1;1;1) |
B(2;0;2) |
C(2;2;2) |
D(3;4;−3) |
||
17.19. A(0;0;0) |
B(1;1;0) |
|
C(2;1;0) |
D(0;0;6) |
|
17.20. A(0;0;0) |
B(4;1;1) |
C(1;1;0) |
|
D(0;0;8) |
|
17.21. A(1;2;−1) |
B(0;1;5) |
C(−1;2;1) |
D(2;5;3) |
||
17.22. A(1;−1;2) |
B(5;−6;2) |
C(1;3;−1) |
D(2;3;1) |
||
17.23. A(2;−1;1) |
B(5;5;4) |
C(3;2;−1) |
D(4;1;3) |
||
17.24. A(2;3;1) |
B(4;1;−2) |
C(6;3;7) |
D(−5;−4;8) |
||
17.25. A(2;1;−1) |
B(3;0;1) |
C(2;−1;3) |
D(0;8;0) |
||
17.26. A(4;0;1) |
B(−2;1;3) |
C(1;3;2) |
D(3;2;5) |
17.27. A(− 2;1;3) |
B(4;1;1) |
C(1;3;2) |
D(3;2;6) |
17.28. A(1;3;5) |
B(3;2;4) |
C(4;1;1) |
D(−2;1;2) |
17.29. A(3;1;5) |
B(1;3;2) |
C(− 2;0;2) |
D(3;5;3) |
17.30. A(6;5;4) |
B(1;1;1) |
C(1;0;3) |
D(5;6;4) |
17.31. A(4;1;−2) |
B(2;3;1) |
C(6;3;7) |
D(−5;−1;8) |
Задача 18
18.1. |
|
a1 |
|
= 2 , |
|
a2 |
|
= 5 , (a1, a2 )= |
2π |
. Вычислить (a1 + 2a2 )2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2π . |
|
18.2. |
|
|
|
|
a1 |
|
= 2 , |
|
|
|
a2 |
|
= 5 , |
(a1, a2 )= |
Вычислить |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(2a1 + a2 )(a1 −2a2 ). |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
18.3.a1 = 2 , a2 = 5 , (a1, a2 )= 23π . Вычислить (a1 + a2 )2 .
18.4.Вычислить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах a = 2p +3q , b = p − q , если
p= 2 , q = 3 , (p, q)= 23π .
18.5.Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c
образует с |
ними углы, равные |
π . |
Зная, |
что |
|
a |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
=1, найти (2a − |
|
|
)(c −a). |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18.6. Векторы |
a и |
|
|
|
|
|
взаимно перпендикулярны, |
|
а вектор c |
|||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образует с ними углы, равные |
π |
. Зная, что |
|
a |
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
= 2 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
=1, найти (a + |
|
|
|
|
|
+ c)2 . |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18.7. Векторы |
a и |
|
образуют |
угол |
π . Зная, |
|
что |
|
|
a |
|
= 5 , |
||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
= 4 , найти длину вектора c = 5a + 2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.8. Три вектора a , |
|
|
|
|
b |
, |
c |
расположены в одной плоскости, |
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
= 3, |
|
|
= 2 , |
|
c |
|
= 2 , |
векторы |
|
|
|
|
и c |
составляют с |
|||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||
вектором |
|
|
a углы в |
60°. Определить угол α между |
||||||||||||||||||||||||||
векторами |
|
и c и длину вектора s = a + |
|
+ c . |
||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||
18.9. Три вектора a , |
|
|
, c |
попарно взаимно перпендикулярны, |
||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||
а длины их соответственно равны |
|
a |
|
= 2 , |
|
= 3 , |
|
c |
|
= 6 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти длину вектора s = a + 2b +3c .
18.10.Вычислить скалярное произведение векторов (a, b), если a = 3p −2q и b = p + 4q , где p и q – единичные векторы.
18.11.Найти числовое значение скаляра 3 m −2(m, n)+ 4n2 ,
если m = 13 , n = 6 , (m, n)= π3 .
18.12.Вычислить длину диагоналей параллелограмма,
построенного |
|
на векторах a = 5p + 2q , |
|
|
|
= p −3q , если |
||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
известно, что |
|
p = 2 2 , |
|
q |
|
= 3 , (p, q)= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
и |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18.13. К одной и той же точке приложены две силы: |
P |
Q |
||||||||||||||||||||||||||||||
действующие под углом 120°, причем |
|
|
|
= 7 , |
|
|
|
|
= 4 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
P |
|
Q |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Найти величину равнодействующей силы |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
18.14. Зная, что |
|
a |
|
= 2 , |
|
|
|
|
= 5 , (a, |
|
)= 2π |
, определить, при |
||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
каком значении коэффициента α векторы p = αa +15b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
q = a − |
|
будут перпендикулярными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.15.Вычислить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах AB = m + 2n , AD = m −3n , где m = 5 , n = 3 , (m, n)= 23π .
18.16. Векторы a и |
|
|
|
|
образуют угол π . Зная, |
что |
|
|
|
a |
|
= 5 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
=8 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = a + |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
b |
|
вычислить |
угол между |
векторами |
b |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
q = a − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18.17. Векторы a , |
|
, c |
попарно образуют углы, каждый из |
|||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
которых |
|
равен |
π . |
Зная, что |
|
a |
|
=1, |
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
c |
|
= 3, |
|||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определить модуль вектора |
S |
= a + 2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
18.18. Найти координаты вектора x , |
|
коллинеарного |
вектору |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a = (5;3;2) и удовлетворяющего условию (a, x) |
=19 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.19. Даны два вектора a = (1;1;5) и b = (1;2;−5). Найти вектор
x , |
удовлетворяющий |
|
условиям |
(a, x)= −2 , |
( |
b, x)= −3, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
)x = −4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ 2 j + 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
18.20. |
|
Найти |
|
|
угол |
между |
диагоналями параллелограмма |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2e1 − e2 |
и |
|
4e1 +5e2 , |
если |
e1 , e2 |
– единичные векторы и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(e , e |
2 |
)= |
2π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18.21. |
|
Найти |
|
скалярное |
произведение векторов |
3a −2b |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, если |
|
a |
|
= 4 , |
|
|
|
= 6 , (a, |
|
)= π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5a −6b |
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
+ 4c |
и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18.22. Найти скалярное произведение векторов 2a +3b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+7c , |
если |
|
a |
|
=1, |
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
c |
|
= 3, |
||||||||||||||||
5a +6b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a, b)= (a, c)= (b, c)= π3 .
18.23. Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам a = i + j + 2k и b = 2i + j + k .
18.24. Даны векторы a = 2i + 2 j + k и b = 6i +3j + 2k . Найти вектор x , который перпендикулярен к векторам a и b и удовлетворяющий условию x(i + j + k)=1.
18.25.Найти угол между векторами a и b , если известно, что
(2a − b)2 +(a −3b)2 = 45 , a =1, b = 2 .
18.26.Векторы a , b , c образуют попарно друг с другом углы
90°. Зная длины этих векторов |
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
|
= 4 , |
|
|
|
|
c |
|
|
= 5 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определить модуль вектора s = 2a +5c −3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
18.27. |
Векторы a и |
|
|
|
|
образуют угол |
|
π , зная, что |
|
|
|
a |
|
|
= 5 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 5 , вычислить |
npq (p + q), |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
b |
|
если |
|
|
|
p = 5a −5b |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = 5a +5b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18.28. Векторы a и |
|
составляют угол |
|
2π |
, зная, что |
|
|
|
|
a |
|
= 3, |
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 7 , вычислить (7a − |
|
)(a +7b |
). |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18.29. |
Вычислить |
(m +3n +3p)2 , |
если |
|
|
m |
|
= |
|
n |
|
= |
|
p |
|
= 2 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n, p)= π2 , (m, n)= (m, p)= π6 .
18.30. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = 2p −11q , b = p + q , если
p= q = 2 , (p, q)= π3 .
18.31.Векторы a , b , c образуют попарно друг с другом углы
90°. |
|
Зная длины этих векторов: |
|
a |
|
=1, |
|
= 2 , |
|
c |
|
= 3, |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
определить модуль вектора s = 2a + c +3b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 19 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19.1. |
|
a1 |
|
= 4 , |
|
|
|
a2 |
|
= 3 , |
(a1 |
, a2 )= π . |
|
Вычислить |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
[a1 + a2 ,2a1 + a2 ] |
|
. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.2. Найти синус угла между диагоналями параллелограмма,
построенного на |
векторах |
|
a = 2p −11q , |
|
= p + q , если |
|||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||
|
p |
|
= |
|
|
q |
|
= 2 , |
(p, q)= |
π |
, |
|
используя |
векторное |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
произведение векторов. |
|
π . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
19.3. |
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
|
= 5 , |
(a, |
|
)= |
Вычислить |
площадь |
||||||
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника, построенного на векторах a −2b и 3a + 2b . 19.4. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах a = p + 2q , b = 2p + q , где p и q – единичные векторы, (p, q)= π3 .
19.5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах |
AB |
= m + 2n , |
AD |
= m −3n , где |
|
m |
|
= 5 , |
|
|
n |
|
= 3 , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(m, n)= π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (1;2;3), |
||||||
19.6. |
Вектор |
|
x , |
|
перпендикулярный к |
|
векторам |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= (−1;2;3), |
образует |
тупой |
угол |
с |
осью |
|
OZ. Зная, что |
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = 13 , найти его координаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
19.7. |
Сила |
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
приложена |
|
к точке A(3;3;3). |
|||||||||||||||||||
|
F |
i |
j + k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Определить |
момент |
этой силы |
|
относительно |
|
|
точки |
|||||||||||||||||||||||||
O(2;2;5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 = (1;−2;−5), |
|
|
F2 = (−2;2;2), |
||||||||||||||
19.8. |
Даны |
|
три |
силы: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
F3 = (0;2;3), приложенные к точке |
|
A(0;1;2). Определить |
|||||||||||||||||||||||||||||
величину |
|
|
|
и |
направляющие |
косинусы |
момента |
|||||||||||||||||||||||||
равнодействующей этих сил относительно точки O(1;1;1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
19.9. |
Найти |
координаты |
вектора |
x , если известно, |
что он |
|||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярен |
к векторам |
a1 = (2;−1;2), |
a2 = (1;1;1), |
|||||||||||||||||||||||||||||
образует с ортом |
|
острый угол и x = |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.10. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен к векторам a1 = (5;7;1), a2 = (1;2;5), а также удовлетворяет
условию x(i + 2 j −7k)= 3.
19.11.Зная разложение векторов l , m , n по трем
некомпланарным векторам a , b , c , проверить, будут ли l , m , n компланарны, и в случае утвердительного ответа дать линейную зависимость, их связывающую, если
|
|
= 2a − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
b |
− c , m = 2b |
− c −a , n = 2c −a − b . |
C(9;4;−4), |
|||||||||||||||||||
19.12. Показать, что |
точки A(5;7;−2), |
B(3;1;−1), |
||||||||||||||||||||||
D(1;5;0) лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
19.13. Дано: |
|
a |
|
= 2 , |
|
|
|
= 2 , (a, |
|
)= |
π . Найти площадь |
|||||||||||||
|
|
|
b |
|
b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника, построенного на векторах 3a − |
|
, |
3a + |
|
. |
|||||||||||||||||||
b |
b |
19.14. Найти синус угла между векторами AB и AC , если
A(1;3;5), B(7;0;2), C(1;3;2), используя векторное произведение векторов.
19.15. Векторы a |
и |
|
|
|
|
образуют угол |
π |
. Зная, что |
|
a |
|
= 5 , |
|||||||||
b |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= 3 , вычислить |
|
|
[(5a −2b |
), (7a − |
|
)] |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
b |
|
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19.16. В треугольнике с вершинами A(3;5;6), B(6;1;0), |
C(3;7;8) |
||||||||||||||||||||
найти длину высоты AM. |
|
π . Найти |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
19.17. Векторы a |
и |
|
образуют угол |
|
площадь |
||||||||||||||||
b |
|
6
треугольника, построенного на векторах 7a −3b и 3a −7b , если a = 5 , b =1.
19.18. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 6m −3n и b = m +11n , если m = n = 5 ,
(m, n)= 23π .
19.19. Вычислить синус угла между векторами a = (3;4;5) и
b = (2;2;2), используя векторное произведение векторов. 19.20. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах |
|
a = 6m −3n |
и |
|
|
= 3m −6n , где |
m, n |
– |
||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||
единичные векторы, образующие угол π . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
19.21. Векторы a и |
|
взаимно перпендикулярны. Зная, |
что |
|||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
= 7 , вычислить |
|
[(11a − |
|
), (5a + |
|
)] |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
b |
b |
|
|
||||||||||||||
19.22. Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD, |
||||||||||||||||||||||
известно, |
|
что она лежит |
на оси OZ. Объем |
тетраэдра |
||||||||||||||||||
v = 3 куб.ед. и A(1;2;3), B(0;1;3), C(2;1;3). |
|
|
19.23. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах |
a = p −11q , |
|
= p +11q , если |
|
p |
|
= |
|
q |
|
= 2 , |
||
b |
|
|
|
|
|||||||||
(p, q)= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
= (3;4;−2) и точка ее |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19.24. Даны |
сила |
|
приложения |
||||||||||
F |
A(2;−1;3). Найти момент силы относительно начала
координат и углы, составляемые им с координатными осями.
19.25. |
В треугольнике с |
вершинами |
A(1;3;1), |
B(2;7;0), |
|||||||
C(3;−1;−1) найти длину высоты BD. |
|
A(3;3;3). |
|||||||||
19.26. |
Сила |
|
= |
|
−3 |
|
|
|
приложена |
к точке |
|
F |
i |
j +5k |
Определить момент этой силы относительно точки O(1;1;1). 19.27. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 3e1 −4e2 , 3e1 +5e2 , где e1 , e2 –
единичные векторы и (e1, e2 )= π4 .
19.28. Найти координаты вектора x , если известно, что он перпендикулярен к векторам a1 = (4;2;3) и a2 = (1;1;1),
образует тупой угол с ортом j и x =13 .
19.29. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен к векторам a1 = (2;−5;6) и a2 = (−1;−3;−7) и удовлетворяет
условию x(3i + 2 j +3k)=13.
19.30. Векторы a , b , c образуют левую тройку, a = 2 , b =1,
|
c |
|
= 2 , (a |
|
)= 60°, c a , c |
|
. Найти a |
|
c . |
||||||
|
|
b |
b |
b |
|||||||||||
19.31. Вектор |
x перпендикулярен к векторам a1 = (1;1;1) и |
||||||||||||||
a2 = (2;3;4) |
|
и удовлетворяет условию x (2i |
− |
|
|
|
)=12 . |
||||||||
|
j + |
k |
|||||||||||||
Найти координаты вектора x . |
Задача 20
20.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку A(1;−2;3) и перпендикулярной к плоскости x − y −2z −4 = 0 .
20.2.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OY перпендикулярно к плоскости 3x −4y +5z −12 = 0 .
20.3.Через точку M(−5;16;12) проведены две плоскости: одна
из них содержит ось OX, другая – ось OY. Найти уравнения этих плоскостей и вычислить угол между этими плоскостями.
20.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные точки M1(2;3;−1) и M2 (1;5;3) перпендикулярно к плоскости 3x − y + 2z +15 = 0 .
20.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку B(3;4;−2) и отсекающей на оси OX и OZ отрезки, соответственно равные a = 2 , c = 5 .
20.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;−4), B(−1;3;−2), отсекающей на осях OX и OY равные отрезки.
20.7.Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости
x+ y + z −1 = 0 и отстоящей от нее на расстояние 3 .
20.8.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и
составляющей с плоскостью 2x + y − 5z = 0 угол π3 .
20.9.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OX и
составляющей с плоскостью y = x угол ϕ = π3 .
20.10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) и перпендикулярной к двум плоскостямM1(2;−3;5
2x + y −2z +1 = 0 , x + y + z −5 = 0 .
20.11.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2;−3;1) параллельно векторам a(−3;2;−1) и b(1;2;3).
20.12.Найти расстояние от точки M(3;2;5) до плоскости,
проходящей через три точки |
M1(0;1;−1), M2 (−1;1;3), |
M3 (2;3;7). |
|
20.13. Найти уравнение плоскости, |
зная, что точка P(1;1;1) |
служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
20.14.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1;1;1), M2 (3;2;1) параллельно вектору a(3;2;1).
20.15.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) перпендикулярно к двум плоскостямM1(2;0;3
7x + z −1 = 0 , x = 0 .
20.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;1;1) перпендикулярно к двум плоскостям x +3y −z +5 = 0 и z = 0 .
20.17. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ и точку M1(1;2;1).
20.18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N(1;2;3) параллельно плоскости XOY.
20.19. |
При |
каком |
значении |
параметра |
α |
плоскости |
3x + y +αz −8 = 0 |
и |
2x − y + 2z +5 = 0 |
||||
перпендикулярны? |
|
|
|
|
||
20.20. |
При |
каких |
значениях |
α и |
β |
плоскости |
x +αy −2z +5 = 0 и βx −6y + 4z +8 = 0 параллельны?
20.21.Найти расстояние между параллельными плоскостями
4x +3y −5z −8 = 0 и 4x +3y −5z +12 = 0 .
20.22.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX и составляющей угол 60° с плоскостью y = x .
20.23.Найти расстояние точки A(1;2;3) от плоскости, отсекающей на осях координат отрезки a =1 , b = 2 , c = 3 .
20.24.Составить уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям
2x − y +5z −3 = 0 , x +3y −z −7 = 0 .
20.25.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1;1;1) и M2 (0;2;1) параллельно вектору a(2;0;1).
20.26.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1;2;0), M2 (2;1;1) и перпендикулярной к плоскостиM1
− x + y −1 = 0 .
20.27. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A(3;1;0), B(0;7;2), C(−1;0;−5),
D(4;1;5). В случае утвердительного ответа найти уравнение данной плоскости.
20.28. Найти угол между плоскостью x − y + 2z −5 = 0 и плоскостью YOZ.
20.29. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A(1;−1;1), B(0;2;4), C(1;3;3) и
D(4;0;−3). В случае утвердительного ответа найти
уравнение данной плоскости.
20.30. Составить уравнение плоскости, проходящей от начала координат на расстоянии 6 единиц и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением a : b : c =1: 3 : 2 .
20.31. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(0;1;1) и M2 (2;0;1) перпендикулярно к плоскости
2x − y + z +1 = 0 .
Задача 21
21.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
) x −2y + z = 4, A(− 4;3;0 и параллельной прямой 2x + y −z = 0.
21.2.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(−1;3;2) и перпендикулярной к оси OX.
21.3.Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(3;0;2) и перпендикулярной к оси OZ.
21.4.Написать уравнение прямой, проходящей через точку C(1;2;4) и перпендикулярной к оси OY.
21.5.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(3;−2;1) и образует с осями координат углы,
соответственно равные 45°, 120°, 60°.
21.6. Установить, лежат ли три данные точки A(1;2;3),
B(10;8;4), C(3;0;2) на одной прямой.