2.Постановка оптимизационной задачи: целевая функция, управляющие переменные, допустимое множество, глобальный и локальный минимумы.

Простейшая модель фирмы

–затраты - производственного ресурса,, в течение некоторого периода времени, .

–производственная функция, связывающая объем производимого продукта с объемами используемых ресурсов;

–цена продукта,

–заданные цены ресурсов.

Рациональное экономическое поведение – выбор объемов ресурсов и выпуска продукции на основе максимизации прибыли (1)- выручка от реализации продукции;

- затраты, связанные с производством продукта.

Задача: нахождение таких неотрицательных величин используемых объемов ресурсов , что

для всех наборов с неотрицательными компонентами.

(2)

Решение подобной задачи может осуществляться, по крайней мере, в двух случаях:

• в системе поддержки планирования производства, предназначенной для помощи руководству фирмы в процессе планирования;

• при анализе возможной реакции производителей на изменение каких-либо внешних условий (например, подорожания ресурсов).

Целевая функция – этофункция, соответствующая критерию качества. ЦФ представляет собой функцию многих переменных, с помощью которой дается математическое изложение цели задачи. Целевая функция обычно представляется в виде

, (3)где – переменные задачи.

Принято различать два типа переменных – управляющие переменные и параметры задачи. Под управляющими переменными понимаются те переменные модели, изменение которых приводит к достижению цели, т.е. к достижению максимального (минимального) значения целевой функции. Наоборот, параметры задачи не могут быть использованы для увеличения значения целевой функции – они либо заданы, либо являются неопределенными (последнее значительно усложняет решение задачи оптимизации).

В примере управляющими переменными являются величины потребления ресурсов, а параметрами задачи являются цены ресурсов и продукта, то есть величины.

Поэтому ЦФ

.Бывает удобным набор переменных считать точкой n-мерного линейного евклидова пространства , то есть рассматриватьn-мерные точки .

Точки линейного пространства также называются векторами.

В рассмотренном выше примере векторы управляющих переменных не могли принимать произвольные значения из пространства–на возможные значения были наложены ограничения.

В общем случае, если вектор управляющих переменных х удовлетворяет ограничениям задачи, он называется допустимым, а множество всех допустимых векторов образует допустимое множество решений X. Допустимое множество является подмножеством .

Так как задача заключается в выборе вектора управляющих переменных из допустимого множества, то в любой нетривиальной задаче оно является непустыми содержит, по крайней мере, две различные точки. В этом случае можно сформулировать задачу оптимизации

Задача оптимизации – это либо задача максимизации, либо задача минимизации

Задача минимизации состоит в поиске такого вектора управляющих переменных из допустимого множества, при котором целевая функция принимает минимальное значение:

, или(4)

Точка называетсяточкой глобального минимума функции на множестве, если

f (х*) ≤ f(х) при всех х  X, . (5)

Точка х*X называется точкой строгого глобального минимума функции на множестве, если

f (х*) < f(х) при всех х  X, . (6)

Точка называетсяточкой локального минимума функции на множестве, еслии соответствующая-окрестностьточкитакие, что

f (х*) ≤ f (х) при всех (7)

Точка х*X называется точкой строгого локального минимума функции на множестве, еслии соответствующая-окрестностьточкитакие, что

f (х*) < f (х) при всех . (8)

Билет 10