Otvety_kollokvium_matan

отрезка: и . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из Σ. Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из Σ. Но если ξ — точка в которую стягиваются отрезки, то, поскольку ξ лежит на отрезке , она должна входить в некоторый интервал σ системы Σ. Тогда все отрезки последовательности , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом σ. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

5. Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом.

Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть — верхняя грань множества частичных пределов. Тогда заметим,

что , а это означает, что в любой окрестности точки находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку ). Значит, по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность сходится к тогда и только тогда, когда , так как получается, что — единственная предельная точка множества элементов последовательности

6.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

7. Монотонные последовательности и их свойства.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей. Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей. Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

свойства

-Ограниченность.

-Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу. -Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.

-Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

-Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон. -Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.

-Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

8. Принцип математической индукции.

в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку. Тогда, если мы толкнём первую косточку, то все косточки в ряду упадут.

Формулировка : Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной

Пусть имеется семейство утверждений . Пусть известно, что: 1.(база индукции) справедливо;

2.(индукционный переход) из справедливости вытекает справедливость .

Тогда все утверждения справедливы.

9. Число е.

Второй замечательный предел

возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки