algebra lecture 1stcourse 1st semester
.pdfТаблица сложения
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
0 |
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица умножения
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
4 |
0 |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
0 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
0 |
|
4 |
2 |
0 |
4 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как 2 3= 0 , то 2 и 3 в Z6 являются делителями нуля. В то же время 5 5=1, то есть 5 - обратимый элемент в Z6 .
Утверждение. Элемент a Zm обратим НОД(a,m)= 1.
Доказательство.
. Пусть b Zm такой, что a b =1 (ab)π 1 ab = 1 + kmab - km = 1, и если d|a, d|m, то d|1.
. Пусть НОД(a,m) = 1. Тогда c , d Zm , c ≠ d , также
a c ≠ a d . В самом деле, если a c = a d , то ac= ad
(ac)π(ad) m|(ac - ad) m|a(c - d). Но НОД(a,m) = 1
m|(c - d) cπ d c = d - противоречие. Таким образом, все элементы из a Zm различны a Zm = Zm b Zm
такой, что a b =1.
Следствие. Zm – поле m – простое число.
51
Доказательство. . Если m = p – простое число, то
a {1,2, …, p - 1} НОД(a,p)= 1 a - обратим, Zm – поле.
. Пусть Zm – поле, и m – непростое число, m = kl, где k > 1,
l > 1. Тогда НОД(k, m) ≠ 1, и для элемента k Zm , k ≠ 0 , обратный элемент в Zm не существует - противоречие. Значит, m – простое.
6.5. Поля.
Примеры числовых полей хорошо известны – это
<Q,+, , -( ), 0 , 1 >, <R,+, , -( ), 0 , 1 >, <C,+, , -( ), 0 , 1 >.
Также мы доказали, что простого числа p Z полем яв-
ляется < Zp ,+, , -( ), 0 , 1>.
Определение. Если P = <P, +, , -( ), 0K , 1K > - поле,
F P и F = <F,+, , -( ), 0K , 1K > - поле, |
то F называют |
|
подполем поля |
P, а P называют надполем поля F или рас- |
|
ширением поля |
F. Если ясно, какие операции имеются в ви- |
|
ду, то говорят, что F – подполе поля P, а |
P – расширение |
|
поля F. |
|
|
Определение. Если Р1, Р2 – поля, то отображение
ϕ: Р1→ Р2 называется изоморфизмом полей, если ϕ - биек-
ция, и x,y Р1 ϕ(x+y) = ϕ x +ϕ y, ϕ(x y) = ϕ x ϕ y. Если для полей Р1 и Р2 такой изоморфизм существует, то говорят,
что поля Р1 и Р2 изоморфны и пишут Р1 ≈ Р2.
Упражнения.
1.Доказать, что id: Р1→ Р1 является изоморфизмом, то есть
Р1 ≈ Р1.
2.Доказать, что если ϕ:Р1→Р2 – изоморфизм, то ϕ -1:Р1→Р2 – изоморфизм, то есть если Р1 ≈ Р2, то Р2 ≈ Р1.
3.Доказать, что если ϕ:Р1→ Р2 , ψ:Р2→ Р3 – изоморфизмы,
52
то ψ ◦ϕ:Р1→ Р3 – изоморфизм, то есть если Р1 ≈ Р2 и Р2 ≈ Р3 , то Р1 ≈ Р3.
4. Доказать, что если ϕ:Р1→ Р2 – изоморфизм, то |
|
|
|
|||||||||||||||
ϕ(0 P )=ϕ(0 P ), ϕ(1 P |
)=ϕ(1 P ),ϕ(-х)= - ϕх х Р1, |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(х -1)= (ϕ х)-1 х Р1, х ≠ 0 P . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть P - поле. Будем обозначать элементы вида |
|
|
||||||||||||||||
ab-1 = b-1a |
дробями |
ba . Тогда ba = |
c |
ab-1 = cd -1 |
|
|
||||||||||||
d |
|
|
||||||||||||||||
ad = bc, ba + |
c |
= ab-1+cd -1 =( ab-1+cd -1) bd ( bd) -1 = |
|
|
|
|||||||||||||
d |
|
|
|
|||||||||||||||
= (ad + bc)( bd) |
-1 |
|
ad + bc |
a c |
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
ac |
|||||||
|
= |
|
bd |
, b |
|
= ab |
cd |
|
=ac(bd) |
|
= |
bd . |
||||||
|
|
d |
|
|
Любое поле P содержит элементы 0Р, 1Р, 1Р + 1Р = 2(1Р), 1Р + 1Р +1Р =3(1Р),…, m(1Р) m N. Возможны два случая:
1)все элементы вида m(1Р), m N, различны.
2)среди этих элементов одинаковые, то есть в N m ≠ n : m(1Р)= n(1Р) (такой случай имеет место всегда для конечного
поля Р). Пусть m > n. Тогда (m – n)(1Р)= 0Р , то есть существует такое t N, что t(1Р)= 0Р .
Определение. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число t такое, что t(1Р)= 0Р . Если такого числа не существует (как в случае 1), то говорят, что характеристика поля равна 0 или ∞ . Характеристика поля обозначается через char P.
Очевидно, char Q = char R = char C = 0, char Zp = p.
Теорема. Если р = char P ≠ 0, то р – простое число. Доказательство. Пусть р – не простое, p = kl, где k, l ≠ 1.
53
Тогда 0Р = p(1Р)= (kl)(1Р) = k(1Р) l(1Р), и k(1Р) ≠ 0Р, l(1Р) ≠ 0Р.
Но в поле нет делителей нуля (см. 6.3), то есть мы получили противоречие. Значит, р – простое число.
Определение. Поле Р называется простым, если у него нет подполей, отличных от Р.
Теорема. Поле Q – простое.
Доказательство. Пусть Q Р – подполе. Тогда Р 0, 1, 1+1=2, 2+1=3,…, n ( n N), - n ( n N), ± 1n ( n N), 1n m ( n N, m Z), то есть Р Q Р = Q. Других подполей в Q нет.
Теорема. Поле Zp – простое.
Доказательство. Пусть Zp Р – подполе. Тогда Р 0 ,1,
1+1= 2 , 2 +1= 3, … , p −1, то есть Р Zp Р = Zp . Других подполей в Zp нет.
Теорема. Пусть Р – поле, и char P = 0. Тогда
1)P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,
2)подполе Р0 – простое,
3)Р0 ≈ Q.
Доказательство. Очевидно, пересечение всех подполей в Р является, во-первых, подполем, во-вторых, оно является наименьшим подполем (так как содержится в любом другом) и, в-третьих, оно является простым подполем, так как не содержит собственных (меньших) подполей. Отсюда следуют 1-е и 2-е утверждения теоремы.
Но мы докажем теорему иначе. Пусть поле P содержит подполе Р1. Тогда Р1 0Р, 1Р, 1Р+1Р=2(1Р), 2(1Р)+1Р =3(1Р),…,
54
n(1Р) |
( n N), |
(- n)(1Р) |
|
( n N), ±(n(1Р))- 1 ( n N), |
||||||||||||||||||
m(1Р) (n(1Р))- 1 |
( n N, m Z). Пусть |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Р0={m(1Р) (n(1Р))- 1| n N, m Z}= { m(1P ) |
|
| m Z, n N}. Тог- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(1 |
) |
|
|
|
|
|
да Р0 - подполе, так как |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
m(1 |
) |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I. |
+ |
m (1 ) |
= |
|
(mn + nm )(1 ) |
Р0 |
|
|
|
|
(*) |
|||||||||||
|
P |
|
′ P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n(1P ) |
|
n (1P ) |
|
|
|
(nn )(1P ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
m(1 |
) |
|
|
′ |
|
||
и |
m(1 ) m (1 ) |
= |
(mm )(1 ) |
Р0 |
|
, |
m (1 ) |
Р0 , (**) |
||||||||||||||
|
|
P |
|
′ P |
|
|
|
P |
|
|
P |
|
′ P |
|||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||||||||||||||
|
n(1P ) |
n (1P ) |
|
|
(nn )(1P ) |
|
|
|
n(1P ) |
|
|
n (1P ) |
|
|||||||||
II.2. |
при m = 0, n = 1 |
получаем, что 0P Р0 , |
|
|||||||||||||||||||
3. - |
m(1P ) = |
(−m)(1P ) |
Р0 , 6. при m = 1, n = 1 получаем, что |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n(1 ) |
|
n(1 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
n(1P ) |
|
|
||||
1P Р0 , 7. при |
m ≠ 0 |
m(1P ) |
|
= |
Р0 |
- при m < 0 |
||||||||||||||||
|
n(1 ) |
|
m(1 |
|
) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|
здесь используется правило знаков из 6.2. Выполнение остальных свойств из определения поля в Р0 следует из выполнения их в поле Р.
Подполе Р0 - наименьшее, так как любое другое подполе Р1 содержит Р0. Отсюда следует, что Р0 - простое подполе, так как оно не содержит собственных (меньших) подполей.
Докажем, что поле Р0 изоморфно полю Q. Определим отображение ϕ: Q → Р0 так: пусть mn Q по определе-
нию ϕ( m )= m(1P ) Р0 . Тогда ϕ - инъекция. В самом деле, n n(1P )
если ϕ( m )=ϕ( m′′ |
), то |
m(1P ) |
= m′′(1P ) |
m(1Р) n′(1Р) = |
|
n |
n |
|
n(1P ) |
n (1P ) |
|
= m′(1Р) n (1Р) (mn′)(1Р) =(m′n)(1Р) (mn′- m′n)(1Р))=0Р
55
mn′ - m′n = 0 (так как char P = 0) mn = mn′′ . Сюръектив-
ность ϕ очевидна. Таким образом, ϕ - биекция. Сохранение операций при ϕ следует из (*) и (**). Следовательно, ϕ - изоморфизм.
Теорема. Пусть Р – поле, и char P = р. Тогда
1)P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,
2)подполе Р0 – простое,
3)Р0 ≈ Zp.
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы 3.
Упражнение. Доказать эту теорему.
Лекция 13.
7.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
7.1.Определения, примеры.
Пусть Р – произвольное поле.
Определение. Множество L называется линейным (или
векторным) пространством над полем Р, если
I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть a, b L определен результат операции
a+b L, и a L, αP определен результат операции αa L, и II. для этих операций выполнены 8 свойств:
1. |
(a + b)+ c = a + (b + c) a, b, c L. |
2. |
элемент 0L L такой, что a + 0L= 0L +a = a a L. |
56
0L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.
3. a L элемент a′ L такой, что a′+ a = a + a′= 0L . a′ называется элементом, противоположным к a и обозначается -a.
4. a + b = b + a a, b L,
5. α (a+b) = α a + α b a, b L α P,
6.(α+β) a = α a+β a, a L α, β P,
7.(αβ) a = α(β a) a L α, β P,
8. 1P a = a a L.
Элементы линейного пространства называются вектора-
ми.
Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций Ω, то
Ω = {+,-(.), 0L ,α|αP }.
Определение. Подмножество L1 L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций Ω.
Упражнения.
1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L1 выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть a, b L1 a + b L1;
a L1, αP αa L1 ; 0L L1.
2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.
Примеры линейных пространств.
1.Поле Р является линейным пространством над Р.
2.Поле является линейным пространством над любым своим подполем.
3.Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.
57
4.Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.
5.Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р является линейным пространством над Р.
Упражнения.
1.Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.
2.Доказать, что в линейном пространстве L α 0L=0L α P,
0P a = 0L , (-1)a = - a a L.
Утверждение. Множество L = Рn ={(α1,…,αn)| все αi P}
является линейным пространством над полем Р.
Доказательство. I. Пусть по определению для элементов
из Рn (α1,…,αn)+ (β1,…,βn)= (α1+β1,…,αn+βn),
α (α1,…,αn)= (α α1,…, α αn).
II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что
((α1,…,αn)+(β1,…,βn))+(γ1,…,γn)=((α1+β1)+γ1,…,(αn+βn)+ +γn)= (α1+(β1+γ1),…,αn+(βn+γn)) =(α1,…,αn)+((β1,…,βn) + +(γ1,…,γn)).
2.Очевидно, (α1,…,αn)+(0,…,0)= (0,…,0) + (α1,…,αn) =
=(α1,…,αn) (α1,…,αn) Рn. То есть (0,…,0)= 0Pn - в Рn
существует нейтрал по сложению.
3.Очевидно, (α1,…,αn)+ (-α1,…,-αn)= (0,…,0), то есть в Рn
(α1,…,αn) существует противоположный элемент. Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения ли-
нейного пространства.
Определения.
1.Пусть элементы a1,…,ak L, α1,…,αk Р. Выражение α1 a1+…+αk ak называется линейной комбинацией элементов a1,…,ak.
2.Говорят, что элементы a1,…,ak L линейно зависимы, если
существуют α1,…,αk Р, не все равные нулю, такие, что α1 a1+…+αk ak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства α1 a1+…+αk ak = 0L следует, что все αi = 0.
58
3.Говорят, что размерность линейного пространства L равна п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.
4.Говорят, что размерность линейного пространства L бес-
конечна, если в L п существуют п линейно независимых векторов.
5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.
Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.
7.2. Теоремы о базисах.
Теорема 1. Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а L однозначно выражается через
базис в виде а = β1 е1+…+βп еп для некоторых β1,…,βп Р.
Доказательство. Пусть а L. Так как dim L = п, то п+1
векторов а,е1,…,еп линейно зависимы, то есть α,α1,…,αп Р,
не все равные нулю, такие, что α а +α1 е1+…+αп еп=0L , причем α ≠ 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. То-
гда а=α -1α1 е1+…+α -1αп еп=β1 е1+…+βп еп, где β1=α -1α1,…,
βп =α-1αп .
Докажем однозначность. Пусть а = β1 е1+…+βп еп =
=γ1 е1+…+γп еп (β1 -γ1 )е1+…+(βп -γп)еп= 0L β1 - γ1 =0,…,
βп -γп= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы β1 = γ1 ,…, βп = γп – это и означает однозначность.
Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,еп – такая система векторов в L, что любой вектор а L однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = β1 е1+…+βп еп для некоторых β1,…,βп Р. Тогда е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Доказательство. 1. е1,…,еп – линейно независимая система векторов в L, так как если α1 е1 +…+αп еп = 0L =
= 0 е1 +…+ 0 еп , то из однозначности α1= 0,…,αп = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.
59
2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.
Пусть а1,…,ап+1 L. Тогда а1 = β11 е1+…+β1п еп ,…,
ап+1 =βп+1,1 е1+…+βп+1,п еп . Покажем, что существуют х1,…,хп+1 Р, не все равные нулю, такие, что
х1а1+…+хп+1ап+1 = 0. Но х1а1+…+хп+1ап+1 =
= (β11 х1+…+βп+1,1хп+1)е1+…+(β1п х1+…+βп+1,пхп+1)еп , и одно-
родная система п уравнений с п+1 неизвестным
|
β |
x |
+... |
+ β |
x |
= 0 |
|
11 |
1 |
|
n+1,1 n+1 |
имеет ненулевое решение (см.4.3). |
|
...................................... |
|
|
|
|
|
|
|
β |
x |
+... |
+ β |
x |
= 0 |
|
1n 1 |
|
|
n+1,n n+1 |
|
Таким образом, dim L = n, и е1,…,еп – базис в L.
Теорема 3. Если е1,…,еп – базис линейного пространства L, то е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.
Доказательство. Так как е1,…,еп – базис, то dim L = n, и
из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.
Теорема 4 (обратная). Если е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Доказательство. Пусть а L. Так как п +1 векторов
а, е1,…,еп линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е1,…,еп . Из линейной независимости векторов е1,…,еп , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Теорема 5. dim P n = n.
Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,
60