algebra lecture 1stcourse 1st semester
.pdf4. Доказать, что подгруппа циклической группы – циклическая группа.
Пусть g G. Рассмотрим отображение ϕ : Z → G та-
кое, что ϕ(п) = g n п Z. Очевидно, ϕ - морфизм групп, так как ϕ(т+п) = g т+п = g т g п = ϕ т ϕ п . Кроме того,
Im ϕ = <g>, Ker ϕ = {n Z | g п = ε }. Если Ker ϕ = { 0 }, то по Теореме о разложении морфизма Im ϕ = <g> ≈ Z / Kerϕ = = Z / { 0 } ≈ Z , то есть < g > - бесконечная циклическая группа. Если же Ker ϕ ≠ { 0 }, то Ker ϕ = d Z, Im ϕ = <g> ≈
≈ Z / Kerϕ = = Z / d Z ≈ Zd , то есть < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная цикличе-
ская группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Zd .
Литература, использованная при подготовке Курса лекций:
1.Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006
2.Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003
191
СОДЕРЖАНИЕ Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6. Группы, кольца, поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
192
Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8. Системы линейных уравнений (продолжение) . . . . . . . . . 70
Лекция 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Лекция 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9. Матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Лекция 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Лекция 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10. Алгебра многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Лекция 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Лекция 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Лекция 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11. Поле рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 12. Прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 13. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 14. Матрица перехода от одного базиса к другому . . . . . . .113 15. Образ и ядро линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . 117
Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 16. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 17. Диагонализируемые линейные операторы . . . . . . . . . . .130
Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 18. Евклидовы векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . 133
Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 19. Ортогональные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . 138
Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 20. Самосопряженные линейные операторы . . . . . . . . . . . .144
Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 21. Унитарные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . .149 22. Унитарные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 23. Эрмитовы линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
193
Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 24. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . 157
Лекция 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 Лекция 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . .168
Лекция 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 26. Эрмитовы формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Лекция 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве . . . . . . . . 177
Лекция 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 27. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 Лекция 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
194