algebra lecture 1stcourse 1st semester

ответствующей расширенной матрице i-я строка умножается на с.

Упражнения.

S S′.

На множестве СЛУ с п неизвестными введем отношение ↔ . Пусть по определению S ↔ S′, если система S′ может

ЭП ЭП

быть получена из S с помощью цепочки ЭП: S →… → S′.

Упражнения.

3.Доказать, что отношение ↔ является отношением эквивалентности.

4.Доказать, что если S ↔ S′, то S S′, и, следовательно, отношение эквивалентности ↔ содержится в отношении эквивалентности .

Теорема. Любую матрицу размером m×n

c помощью ЭП можно привести к ступенчатому виду:

21

где число ненулевых строк равно r, r≥ 0, и все элементы aiki ≠ 0, i = 1,…,r.

Доказательство индукцией по m.

При m = 1 утверждение очевидно и ничего доказывать не надо.

Пусть для m – 1 утверждение верно. Докажем его для m. Пусть в 1-м столбце все элементы нулевые, во 2-м столбце все элементы нулевые и т.д. Пусть 1-й столбец, где встретится элемент, неравный нулю, имеет номер k1 , k1≥ 1. Строку, где находится этот ненулевой элемент, поменяем местами с 1-й строкой. Элемент, который окажется на месте с номером (1, k1), обозначим a1k1 , элемент, который окажется на месте с

номером (1, j), обозначим a1 j , а элемент на произвольном (i, j)-м месте (i ≥ 2) будем обозначать aij′ . Теперь с помощью ЭП-I сделаем нули под ненулевым элементом a1k1 . Для этого от каждой строки с номером j, j ≥ 2, отнимем 1-ю строку с

коэффициентом a−1 a′ . После этого получим матрицу вида

1k1 jk1

можно считать, что утверждение верно по предположению индукции. Отсюда и следует доказательство теоремы.

Число r ненулевых строк матрицы A (число ступенек) называется рангом матрицы A и обозначается rgA. Коррект-

22

ность определения ранга (независимость от способа приведения A к ступенчатому виду) будет доказана позже.

Лекция 6.

4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.

Рассмотрим СЛУ вида (4.1). Расширенную матрицу системы приведем с помощью ЭП к ступенчатому виду

Здесь ранг основной матрицы системы равен rgA = r.

1. Если br+1 ≠ 0, то ранг расширенной матрицы rg A = r+1, и

(r+1)-е уравнение системы ступенчатого вида имеет вид

0 х1 + … + 0 хn = br+1, то есть несовместно. Значит, и вся СЛУ несовместна.

2. Если br+1 = 0, то ранг расширенной матрицы rg A = rgA = r.

Покажем, что в этом случае СЛУ совместна. Назовем все неизвестные xki , i = 1,…,r, с которых начинаются ступеньки,

главными, а все остальные (n – r) неизвестных – свободными. В системе ступенчатого вида, поднимаясь снизу вверх с r-го уравнения и до первого, выразим главные неизвестные через

свободные: xkr = a−r,1kr (−ar,kr +1xkr +1 −... −arn xn +br ) ,

xkr−1 = a−r−11,kr−1 (−ar−1,kr−1 +1xkr−1 +1 −... −ar−1,n xn +br−1 ) . Затем в правую часть этой формулы подставим выражение для главного

23

неизвестного xkr из предыдущей формулы – получим выражение главного неизвестного xkr−1 только через свободные

неизвестные. После этого из (r-2)-й строки системы (4.2) выразим xkr−2 и в правую часть формулы подставим выражения

для главных неизвестных xkr , xkr−1 из предыдущих формул – получим выражение главного неизвестного xkr−2 только через

свободные неизвестные. Затем переходим к (r-3)-й строке системы (4.2) и так далее до 1-й строки.

На полученные r формул можно смотреть двояко. Вопервых, можно считать, что это СЛУ, равносильная первоначальной СЛУ (4.1) и записанная специфическим удобным способом, при котором некоторые неизвестные (главные) выражены через другие (свободные). Во-вторых, эти формулы можно считать общим решением системы (4.1), в котором свободные неизвестные являются параметрами и принимают произвольные значения из поля Р, а главные неизвестные однозначно находятся по нашим формулам. Для эстетов, которым не нравится второй взгляд, можно уточнить этот второй взгляд введением других букв. Присвоим свободным (n – r) неизвестным произвольные значения t1, t2 ,…,tn-r из поля P, a значения главных неизвестных найдем по нашим формулам. Полученный набор значений неизвестных и будет решением системы (4.1).

Таким образом, нами доказана

Теорема Кронекера-Капелли. Система (4.1) совместна

тогда и только тогда, когда rg A = rg A .

Если r = n, то есть свободных неизвестных нет, и все неизвестные – главные, а матрица ступенчатого вида в (4.2) – треугольная, то система (4.1) имеет единственное решение, то есть является определенной. Если r < n, то свободные неизвестные существуют, и система имеет более одного решения, то есть является неопределенной. Если поле Р – бесконечное, то при r < n совместная СЛУ имеет бесконечно много решений.

24

4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.

Как и при решении по Гауссу приведем расширенную матрицу системы (4.1) с помощью ЭП к ступенчатому виду (4.2). После удаления последних нулевых строк матрица примет вид:

Далее снизу вверх, начиная с r-й строки, проделаем над этой матрицей (соответственно, над СЛУ) следующую процедуру. Сделаем над этой матрицей ЭП-III – умножим r-ю строку на

a−r,1kr . Тогда r-я строка матрицы примет вид:

(0 0 .....1 ar′,kr +1....arn′ br′). С помощью ЭП-I, вычитая r-ю строку с соответствующими коэффициентами из выше расположенных строк, сделаем над 1 в r-й строке все элементы kr-го столбца нулевыми. Затем переходим к (r - 1)-й строке. С помощью ЭП-III сделаем 1 в начале строки на месте с номером (r – 1, kr-1), и с помощью ЭП-I сделаем нули везде выше над этой единицей в kr-1 –м столбце. Затем переходим к (r - 2)-й строке и т.д. После этой процедуры наша матрица примет вид

Теперь в соответствующей СЛУ оставим главные неизвестные слева, а все остальные слагаемые перенесем в правые части уравнений. Получим, как и при решении по Гауссу,

25

выражения главных неизвестных через свободные. В отличие от метода Гаусса, когда с помощью матрицы (4.2) мы выражали главные неизвестные через свободные, на каждом шаге подставляя в формулу выражения ранее найденных главных неизвестных, при методе Жордана все необходимые вычисления проводятся над матрицей, а в конце мы получаем готовые формулы выражений главных неизвестных через свободные.

Лекция 7.

5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

5.1. Определения. Свойства.

На множестве квадратных (п× п)-матриц (п = 1,2,3,…) с элементами из поля Р определим по индукции функцию det со значениями в поле Р. Значение этой функции на матрице А будем обозначать также |A| и называть определителем матрицы А.

Пусть для п = 1 для матрицы А = (а11) по определению detA = а11 .

Далее будем считать, что для всех (п – 1)×(п – 1)-матриц функция det уже определена. Определим для (п× п)-матрицы

detA = а11 M11 - а21 M21 + а31 M31 - …+(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 –

определитель (п – 1)×(п – 1)-матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием 1-го столбца и k-й строки. По предположению индукции можно считать, что все эти определители мы вычислять умеем. Определители Mk1 называются минорами, соответствующими элементам аk1. Число п бу-

26

дем называть порядком (п× п)-матрицы А, а также порядком определителя |A|.

Упражнение. Написать формулы для |A| при n = 2 и 3. Замечание. detA можно рассматривать как функцию одного матричного аргумента A, можно рассматривать как

матрицы A: detA = det(А1 , А2 ,…, Аn ).

Утверждение 1.

det(А1 ,…,Аi+А′i ,…,Аn)=det(А1 ,…,Аi ,…,Аn)+det(А1 ,…,А′i,…,Аn).

Доказательство по индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу A , у которой i-я строка Ai = Аi+А′i . По

определению | A |= а11 M11 -а21 M21 +…+(-1)i+1(аi1+а′i1)Mi1+…+ +(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 , k ≠ i, - миноры матрицы A , Mi1 –

минор матрицы А и A . Так как все Mk1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 1 верно, то есть при k ≠ i Mk1 = Mk1 + M′k1 , где Mk1 - миноры для det(А1 ,…,Аi ,…,Аn), а M′k1 – миноры для

det(А1 ,…,А′i,…,Аn). Таким образом,

| A |= а11(M11+M′11) -а21(M21+M′21)+…+(-1)i+1(аi1+а′i1)Mi1+…+

+(-1)n+1аn1 (Mn1+ M′n1) =

= (а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1 Mi1+…+(-1)n+1аn1Mn1 )+ + (а11M′11 - а21M′21+…+(-1)i+1а′i1Mi1+…+(-1)n+1аn1 M′n1) =

= det(А1 ,…,Аi ,…,Аn) + det(А1 ,…,А′i,…,Аn).

Утверждение 2.

det(А1 ,…, сАi ,…, Аn) = сdet(А1 ,…, Аi ,…, Аn).

Доказательство по индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

27

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу A , у которой i-я строка Ai = сАi . По

определению | A | = а11 M11 - а21 M21 +…+(-1)i+1саi1Mi1+…+ +(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 , k ≠ i, - миноры матрицы A , Mi1 –

минор матрицы А и A . Так как все Mk1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 2 верно, то есть при k ≠ i Mk1 = сMk1 , где Mk1 - миноры для det(А1 ,…, Аi ,…, Аn). Таким образом,

| A |= а11сM11 - а21сM21 +…+ (-1)i+1саi1Mi1+…+ (-1)n+1аn1сMn1 =

= сdet(А1 ,…,Аi ,…,Аn) .

Свойства определителя из утверждений 1, 2 называются свойствами линейности определителя по i-й строке. Так как i – произвольная строка, i = 1÷ n, то говорят, что определитель - полилинейная функция строк.

Утверждение 3.

det(А1 ,…, Аi , Аi ,…, Аn) = 0 – то есть определитель, у которого две соседние строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство по индукции.

При п = 2 утверждение очевидно из формулы для определителя 2-го порядка.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.

Рассмотрим матрицу А, у которой Аi+1= Аi . По определению

|А| = а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1+…+

+(-1)n+1аn1Mn1 , где все миноры Mk1 , k ≠ i, i+1, – имеют две одинаковые соседние строки, и так как все Mk1 - определите-

ли порядка n – 1, то по предположению индукции для них

утверждение 3 верно, то есть при k ≠ i, i+1 Mk1 =0. А сумма

(-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1= 0. Таким образом, |А| = 0.

Утверждение 4.

det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn) – то

28

есть если у определителя поменять местами две соседние строки, то он изменит знак.

Доказательство. Из утверждений 3 и 1

0 =det(А1 ,…,Аi+Аi+1 ,Аi+Аi+1 ,…,Аn) = det(А1 ,…, Аi , Аi ,…, Аn)+

+det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn) + det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) +

+det(А1 ,…, Аi+1 , Аi+1 ,…, Аn) – в этой сумме 1-е и 4-е слагаемые по утверждению 3 равны 0 , то есть

det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn)+ det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn)= 0 det(А1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn).

Утверждение 5. Если у матрицы А при i ≠ j Аi = Аj , то |A|= 0 – то есть определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство. При j = i+1 определитель равен нулю по утверждению 3. Пусть j > i+1. Переставим j-ю строку с (j -1)-й, затем с (j -2)-й, с (j -3)-й и т.д. пока не дойдем до

(i +1)-й и не получим определитель с двумя одинаковыми соседними строками – этот определитель по утверждению 3 равен нулю. Каждый раз при перестановке соседних строк по утверждению 4 определитель менял знак. После всех этих перестановок строк мы получим окончательный нулевой определитель, который отличается от нашего первоначального, может быть, разве что только знаком. Значит, и наш первоначальный определитель тоже равен нулю.

Утверждение 6.

det(А1 ,…, Аi ,…,Аj ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аj ,…, Аi ,…, Аn) – то есть если у определителя поменять местами i-ю и j-ю строки,

то он изменит знак.

Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.

Упражнение. Доказать утверждение 6.

Свойство определителя из утверждения 5 называется свойством кососимметричности (или антисимметрично-

сти) определителя по строкам. Итак, нами доказана

29

Теорема. Определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы.

5.2. Вычисление определителей.

Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак.

Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется.

Доказательство. det(А1 ,…, Аi+cАj ,…, Аj ,…, Аn) =

=det(А1 ,…,Аi ,…, Аj ,…, Аn) + det(А1 ,…,cАj ,…, Аj ,…, Аn)=

=detА + сdet(А1 ,…,Аj ,…, Аj ,…, Аn) = detА + с 0 = detА .

Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести

к ступенчатому виду A . Пусть при этом t - количество ЭП-II.

Лекция 8.

5.3. Обратная теорема об определителях.

Мы доказали, что определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы.

30