28

III. Квантовая механика

Лекция 1

Необходимость пересмотра представлений классической физики. Основные принципы квантовой механики.

Классические механика и электродинамика при попытке при­менить их к объяснению атомных, электронных явлений приводят к результатам, находящимся в резком противоречии с опытом. В модели атома, в которой электроны вращаются вокруг ядра, электроны должны, по классическим представлениям, излучать электромагнитные волны (см. лекцию 14 Теории поля) и, теряя энергию, упасть на ядро. Движение ведь по замкнутой орбите – это не равномерное, это ускоренное движение, ускорение отлично от нуля. Значит, должно быть дипольное излучение. Излучение уносит энергию, а взяться ей не откуда, кроме как из кинетической энергии движения электрона, останавливаясь, падает на ядро. Т.е. по классике атом не может быть устойчивым.

Другое яркое противоречие с классической механикой – явления дифракции электронных пучков при пропускании их через кристалл или через две щели в экране: наблюдается картина чередования минимумов и максимумов интенсивности, аналогичная картине при дифракции электромагнитных волн. Отсюда следует, что поведение материальных частиц – электронов, обнаруживает черты, свойственные волнам. Рисунок двух щелей. Если закроем одну щель и будем пропускать поток электронов, увидим картину интенсивности (числа электронов, попавших в единичную площадку), близкую к естественной по классике, откроем другую щель, эту закроем эту – что-то подобное. Откроем две – не наложение, а дифракционная картина. Получается, что будто проходящий через эту щель электрон знает, что другой проходит через другую и, зная это, изменяет свое движение. Все это доказывает, что самые привычные представления нужно менять. Что, наверное, вообще нельзя говорить, что один проходит через одну, а другой через другую. Все подобные вопросы очень волновали физиков начала 20 века (Планк, Бор, Эйнштейн, де Бройль, Гейзенберг, Шредингер), говорили о кризисе в науке, даже о конце науки. Достаточно разобрались в этих вопросах где-то к 30-м годам, но многое в свойствах микрочастиц не понятно и до сих пор.

Квантовая механика – это механика микрочастиц.

Принцип неопределенности (Гейзенберг, 1927 г.) – в квантовой механике не существует понятия траектории частицы, координаты частицы не могут быть определены с абсолютной точностью. Мы имеем дело с состояниями микрочастиц, в которых некоторые величины или совсем не определены, или определены приближенно. Остальные принципы квантовой механики – дальше, по мере поступления.

Из-за принципа неопределенности в квантовой механике отсутствует уравнение движения частицы. Подобно волне состояние частицы описывается в квантовой механике некоторой функцией координат и времени ψ(q,t) (q – совокупность координат), вообще говоря, комплексной. В отличие от компонент волны, для которой комплексную форму записи применяют для удобства, сами компоненты действительны, пси - комплексная с самого начала. Эта функция называется волновой функцией, или ψ-функцией, или амплитудой вероятности. Квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат: | ψ|² dq есть вероятность того, что частица будет обнаружена в элементе пространства dq. Понятно тогда, почему по аналогии с волнами волновая функция называется также амплитудой вероятности? Поскольку вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице, волновая функция подчиняется так называемому условию нормировки:

∫|ψ|²dq = 1 (1)

Если ψ-функцию домножить на e^iα (α – любое действительное число), то ни величина вероятности | ψ|² dq, ни условие нормировки (1) не изменятся. Можно показать, что это принципиальная неоднозначность: ψ-функция определена с точностью до любого постоянного множителя e^iα (так называемого фазового множителя).

Принцип суперпозиции состояний

Если известна зависимость от времени функции ψ₁(q,t), описывающей некоторое состояние частицы, и функции ψ₂(q,t), описывающей другое ее состояние, то всякая линейная комбинация этих функций, т.е. всякая функция вида с₁ ψ₁ + с₂ ψ₂ (с₁ и с₂ - произвольные постоянные) также описывает возможное состояние и его зависимость от времени. Если в состоянии ψ₁ измерение некоторой физической величины дает определенный результат, а в состоянии ψ₂ – другой результат, то в описываемом их линейной комбинации состоянии измерение этой величины дает с определенной вероятностью либо первое, либо второе значение.

Предельный переход к классической механике

Геометрическая оптика, имеющая аналогию с классической механикой, справедлива при λ → 0, λ – длина волны света.

Де Бройль в 1924 г. высказал предположение, впоследствии подтвержденное, что между частицами и волнами нет принципиальной разницы, и что частице также соответствует некоторая длина волны. При этом предельный переход от квантовой механики к классической соответствует тому же пределу λ → 0. Известна аналогия геометрической оптики с механикой: электрическое поле волны может быть записано в виде E = E₀e^iς, где E₀ можно считать почти константой, а величина ς – аналог классического действия как функции координат и времени, подчиняется уравнению Гамильтона-Якоби (см. ТП, лекция 2). Поэтому для этого предельного случая естественно записать

ψ = аe^iS/ħ (2)

где S – действие, а ħ – константа, которая из соображений размерности должна иметь размерность действия (энергия, умноженная на время). Эта постоянная называется постоянной Планка (введена Планком в 1990 г.), ħ = 1,054 10^-27.

Линейные операторы, действующие на функции

В квантовой механике физическим величинам соответствуют операторы, действующие на волновые функции. Поэтому представим здесь краткий обзор математической теории линейных операторов. Безо всякой математической строгости, в духе теорфизического прагматизма.

Оператор – это правило, по которому одной функции сопоставляется определенная другая функция. Обозначается следующим образом: ψ₂ = L^ ψ₁: оператор L^, действуя на функцию ψ₁, производит функцию ψ₂. Оператор называется линейным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

L^( ψ₁ + ψ₂) = L^ψ₁ + L^ψ₂, L^аψ = аL^ψ (3)

где а – произвольная константа. Из (3) следует, как линейный оператор действует на произвольную линейную комбинацию функций:

L^(с₁ ψ₁ + с₂ ψ₂) = с₁ L^ψ₁ + с₂L^ψ₂

Собственной функцией оператора (далее говорим только о линейных операторах) называется такая функция, для которой справедливо равенство

L^ψ = а ψ (4)

а постоянный множитель в этом равенстве, называется собственным значением этого оператора, соответствующим данной собственной функции. Как бы оператор для этой функции сводится к умножению функции на определенную константу.

Скалярным произведением функции ψ₁ на функцию ψ₂ называется интеграл:

‹1|2› = ∫ ψ₁^* ψ₂dq (5)

В частности, условие нормировки (1) для некоторой функции ψ₁ может быть записано в виде ‹1|1› = 1.

Оператор B^ называют транспонированным оператору A^ (обозначается B^ = A^̃), если для любых двух функций ψ и φ выполнено равенство

∫ ψ B^ φdq = ∫ φA^ ψ dq (6)

Оператор B^ называют комплексно сопряженным оператору A^ (обозначается B^ = A^*), если для любой функции φ выполнено равенство

(А^ φ)* = A^* φ* (7)

т.е. комплексное сопряжение с операторами происходит, как с обычными множителями: сопряженное от произведения равно произведению сопряженных.

Оператор транспонированный и комплексно сопряженный данному называется эрмитовски сопряженным ему (обозначается A^̃* ≡ А^⁺). Из определения операций транспонирования и комплексного сопряжения операторов (6), (7) ясно, что их можно переставлять местами: A^̃* = А^*̃. Оператор, обладающий свойством А^⁺ = А^ называется эрмитовым или самосопряженным. Эрмитовские операторы играют большую роль в квантовой механике.

Оператор, соответствующий последовательному действию на функцию двух других операторов, называется их произведением:

А^ В^ ψ ≡ А^ (В^ ψ)

Вообще говоря, любые два оператора не коммутируют, т.е. А^ В^ ≠ В^ А^.