Результаты проведенных опытов

№ п.п.	Уровни факторов		Значение		Опытное среднее	Значение из уравнения регрессии
	x1	x2	y1
1 2 3	1,0	0,2	18,2 18,6 18,7	331,40 345,96 349,69	18,5	18,4	-0.2 0,2 0,3	0,04 0,04 0,09
4 5 6	2,0	0,4	21,6 23,4 23,7	466,56 547,56 561,69	22,9	22,8	-1,2 0,6 0,9	1,44 0,36 0,81
7 8 9	2,5	0,3	22,0 23,0 22,5	484,00 529,00 506,25	22,5	22,6	-0,6 0,4 -0,1	0,36 0,16 0,01
Сумма	191,7	4122,11	-	-	-	-	-	3,31

Вычисляем F_B — статистику

При уровне значимости α = 0,10 и числе степеней свободы

K₁ = n - 1 = 9 - 1 = 8 и k₂ = n - k - 1 = 9 - 3 - 1 =5 (см. приложение 6) находим = 3,3393, так как F_B = 7,34 ≥ = 3,3393, то гипотеза о значимости уравнения регрессии принимается.

Множественный корреляционный анализ. При множественном корреляционном анализе можно вычислить два типа парных коэффициентов регрессии:

1)— коэффициент, определяющий тесноту связи между функцией отклика у и одним из факторов х_i;

2)— коэффициент, показывающий на связь между двумя

факторами х_i и х_m (i, m = 1,k ). Их величины вычисляются по формулам

где

Если ввести обозначения

то

Проверка значимости коэффициентов корреляции может производиться:

а) сравнением статистического значения с табличным , значимость коэффициента корреляции устанавливается исходя из условия

где выбирается по таблице (см. приложение 10) при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n - 2;

б) сравнением статистики t_α с табличным значением t-кри- терия при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n - 2, значимость коэффициента корреляции устанавливается исходя из условия

где величина t_в выбирается по таблице (см. приложение 2), а среднеквадратич-ное отклонение коэффициента корреляции определяется по формуле

.

Для парных коэффициентов корреляции может быть определен доверитель-ный интервал по формуле

где р — парный коэффициент корреляции генеральной совокупности.

Последовательно вычисляя значения всех парных коэффициентов, строим матрицу коэффициентов корреляции

С помощью матрицы R_k вычисляют частные коэффициенты корреляции, показывающие степень влияния одного из факторов х_i на функцию отклика Y при условии, что остальные факторы имеют постоянные значения.

Частные коэффициенты определяются по формуле

где D_ij — определитель матрицы R_k образованный вычеркиванием первой строки и j-того столбца для каждого определителя соответственно. Аналогично вычисляются и определители D₁₁ и D_jj. Значимость коэффициентов частной корреляции и доверитель- ный интервал вычисляются так же, как и для коэффициентов пар- ной корреляции, но число степеней свободы для критерия t_a;k при- нимается равным k = (n - 2) - р -1, где (р-1) — порядок частного коэффициента парной корреляции.

Если необходимо изучить степень тесноты связи между функ- цией отклика Y и несколькими факторами x₁, x₂, ..., x_р (р<k) используют коэффициент множественной корреляции R_M, который всегда положителен и изменяется в пределах 0 < R_M< 1. Чем ближе значение R_M к единице, тем лучше качество предсказания полученной моделью процесса, по наблюдениям за которым получены статистические данные. Коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле

или

где D — определитель корреляционной матрицы.

Если R_M возвести в квадрат, то величина R²_M называется множественным коэффициентом детерминации и показывает, какая часть дисперсии функции отклика объясняется вариацией линейной комбинации выбранных факторов.

При (р<k), х₁, х₂, ...., х_p значимость R_M можно проверить: а) по t-критерию

б) по F-критерию

где k₁=n - р - 1 и k₂ = р.

Пример. Для предыдущего примера, использовавшего данные табл. 7.2, вычислить коэффициенты корреляции.

Р е ш е н и е. С целью облегчения вычислений результаты работы сведем в табл. 7.3.

Таблица 7.3. Результаты вычислений исследования

№ п.п.	Уровни факторов		y1	у2	x1уi	x2уi			x1x2
	x1	x1
1	1,0	0,2	18,2	331,4	18,2	3,64	1,0	0,04	0,2
2	1,0	0,2	18,6	345,9	18,6	3,72	1,0	0,04	0,2
3	1,0	0,2	18,7	349,7	18,7,	3,74	1,0	0,04	0,2
4	2,0	0,4	21,6	466,6	43,2	8,64	4,0	0,16	0,8
5	2,0	0,4	23,4	547,7	46,8	9,36	4,0	0,16	0,8
6	2,0	0,4	23,7	561,7	47,4	9,48	4,0	0,16	0,8
7	2,5	0,3	22,0	484,0	55,0	6,60	6,25	0,09	0,75
8	2,5	0,3	23,0	529,0	57,5	6,90	6,25	0,09	0,75
9	2,5	0,3	22,5	506,2	56,2	6,75	6,25	0,09	0,75
Σ	16,5	2,7	191,7	4122	361,6	58,8	33,75	0,87	5,25

Вычислим вспомогательные числа:

Вычисляем коэффициент, определяющий степень связи между функцией Y и фактором х₁

Определяем тесноту связи между факторами Y и х₂

Определяем тесноту связи между факторами x₁ и x₂

Где

Составляем корреляционную матрицу

и определяем частные коэффициенты корреляции

где

вычисляем коэффициент множественной корреляции

где

Величина множественного коэффициента детерминации равна:

.

Отсюда можно сделать вывод, что 78,7% дисперсии функции отклика объясняется вариацией линейной комбинации факто- ров х₁ и х₂.

Множественный нелинейный регрессионный анализ. При переходе от линейной к нелинейной модели для функции отклика Y анализ результатов статистических наблюдений начинают с модели так называемой квадратичной формы

Данное уравнение линеаризуется заменой переменных . По полученному уравнению регрессии представляют опытные данные и определяют коэффициенты b₀, b₁, b₂, b₁₁, ....

Затем производят все вычисления аналогично сделанным для случая линейного множественного корреляционно-регрессионного анализа. Если квадратичная форма неадекватна статистическому материалу (результатам эксперимента), то степень уравнения повышается. В практике предельным уравнением бывает кубическая форма. При переходе к высшей степени уравнение регрес-сии линеаризуется заменой переменных.

Кроме полиномиальной модели в нелинейном регрессионном анализе используются:

а) мультипликативные модели

,

логарифмируя которые, преобразуем в линейные модели

,

с заменой переменных: у' = lny; ;

б) экспоненциальные модели

у = ехр(b₀ + b₁x₁ + b₂х₂ + ... + b_kх_k), логарифмируя которые, получим

lnу =b₀+b₁х₁ +b₂x₂+...+b_kх_k;

в) обратные модели

,

можно привести к виду

Для определения корреляционной связи в нелинейных моделях используют множественное корреляционное отношение, при этом для вычисления остаточ-ной дисперсии используется нелинейная форма функции отклика у.

При поиске наилучшей модели функции отклика можно использовать раз-личные нелинейные функции, лучшей из них будет та, которая будет иметь наименьшую величину остаточной дисперсии .

При построении регрессивной модели для целевой функции Y на начальном этапе следует учитывать как можно большее число факторов, влияющих на изменение Y. В этом случае получаются достаточно сложные модели, особенно при использовании нелинейных форм. Часто эти модели можно значительно упростить, если в них выявить те факторы, которые незначительно влияют на функцию отклика или один из двух, имеющих сильную корреляцию между собой, и эти факторы не включать в уравнение регрессии.

Для анализа регрессионных моделей используется несколько методов: метод всех регрессий; метод исключения переменных; метод включения переменных; анализ остатков и др.

При применении метода всех регрессий функцию отклика представляют в виде комбинаций зависимостей, в которых меняют число факторов.

Так в уравнении регрессии

,

можно записать функцию отклика в различных комбинациях

и т.д.

Для каждого уравнения вычисляются коэффициенты регрессии и определяется остаточная дисперсия понаименьшему значению которой и выбирается лучшее уравнение. Применение этого метода связано с трудоемкими вычислениями.

При применении метода исключения переменных уравнение регрессии желательно представить сразу в полной квадратичной или кубичной форме с предварительным вычислением коэффициентов регрессии и корреляции и проверкой линейности модели по F-кри- терию. Исключение начинают с фактора, имеющего наименьший t-- критерий. На каждом этапе после исключения каждого фактора для нового уравнения регрессии вычисляется множественный коэффициент корреляции, остаточная дисперсия и F-критерий. Для прекращения исключения факторов следует следить за изменением остаточной дисперсии. Как только она начнет увеличиваться — исключение факторов следует прекратить. Используется также метод контроля значений t-критерия. Для исключения следующего фактора мы сравниваем его значение (t) с t-критерием предыдущего исключенного фактора и, если они отличаются незначительно, то фактор исключается. Если же различия t-критериев значительны, то исключение факторов прекращают.

Метод включения переменных состоит в том, что на первом этапе выбирают фактор, у которого r_yx наибольший, и строят линейное уравнение

у = f(x_i).

Затем вычисляют частный коэффициент корреляции. После это- го берут следующую величину х_i+1 и находят второе уравнение

у = f(x_i, x_i+1)

и вычисляют частный коэффициент корреляции и т.д. Этот метод используется совместно с анализом остатков.

Метод анализа остатков состоит в том, что анализируется разница между значением функции у_i и предсказываемым ее значением (уравнением регрес-сии). Определяя остатки

е_i = у_i -, i=,

мы проверяем их среднее значение, которое должно быть равно нулю, т.е.

.

Если это условие не соблюдается, то в уравнение вносят дополнительные члены или же проводятся другие преобразования исходных данных.

назад

Лекция 8.

(Самостоятельно – Гринин А.С., Орехов Н.А., Новиков В.Н. Глава 3 §3.6.) Некоторые особенности применения экспериментально-статистических методов в экологии. Проверка статистических гипотез при планировании экспериментов.