Основные формулы по алгебре и геометрии
.docВекторная алгебра
-
Если даны точки и , то или
-
Пусть , и , . Тогда
, .
3) Условие коллинеарности векторов: .
4) Модуль (длина) вектора: .
5) Направляющие косинусы
причем ,
- орт вектора
6) Скалярное произведение векторов: или
; ; .
7) Условие перпендикулярности векторов: .
8) Векторное произведение векторов: .
; .
9) Смешанное произведение векторов:
Если икомпланарны, то
10) Деление отрезка в данном отношении:
Если и - концы отрезка, а - точка, делящая отрезок в отношении , то .
Прямая на плоскости
1) - общее уравнение прямой;
2)- уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
-
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору
4) -параметрические уравнения прямой;
5) - уравнение прямой, проходящей через две точки и
6) - уравнение прямой в отрезках, где и - величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях и соответственно;
7) - уравнение прямой с угловым коэффициентом, где - угловой коэффициент прямой, а - отрезок, отсекаемый прямой на оси
8) - уравнение прямой, проходящей через точку где - угловой коэффициент прямой.
9) Угол между двумя прямыми и : и
10) Условие перпендикулярности: или
11) Условие параллельности: или .
12) Расстояние от точки до прямой :
.
Кривые второго порядка
1) Каноническое уравнение окружности:
центр в точке радиус равен .
2) Каноническое уравнение эллипса:
Числа называются полуосями эллипса, точки - фокусы эллипса,
.
Отношение называется эксцентриситетом эллипса.
3) Каноническое уравнение гиперболы
Числа называются действительной и мнимой полуосями, точки -фокусы гиперболы, .
-асимптоты гиперболы.
- называется эксцентриситетом гиперболы.
4) Каноническое уравнения параболы:
Точка - фокус параболы .
- уравнение директрисы параболы .
Плоскость
1) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору ;
2) - общее уравнение плоскости - нормаль плоскости;
3) - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и ;
4) - уравнение плоскости в отрезках, где - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях и соответственно.
5) Угол между двумя плоскостями:
.
6) Условие параллельности двух плоскостей:.
7) Условие перпендикулярности двух плоскостей:
.
8) Расстояние от точки до плоскости находят по формуле
Прямая в пространстве
1) - канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку параллельно вектору ;
2)-параметрические уравнения;
3) - уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки , ;
4) - общие уравнения прямой.
Направляющий вектор этой прямой .
5) Угол между двумя прямыми и :
6) Условие параллельности двух прямых: .
7) Условие перпендикулярности двух прямых: .
8) Угол между прямой и плоскостью: .
9) Условие параллельности прямой и плоскости: .
10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .