распечатки инж.гр
.pdf
3 ПЛОСКОСТЬ
Плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не принадлежащими одной прямой.
Совокупность элементов (точек, линий), задающих плоскость в пространстве, называется определителем плоскости, рисунки 3.1 – 3.2.
3.1 Способы задания плоскости на чертеже
а) |
|
|
б) |
|
|
|
|
в) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
a2 |
|
2 |
2 |
|
a2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
B11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
1b1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
A1 |
|
C |
|
aa11 |
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
C11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.1 |
|
|
|
|||
|
а) |
|
б) |
|
|
|
в) |
|
|
|
||
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
h 2 |
|
f 20 |
|
A2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
x |
|
f 1 |
=h2 |
x |
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
B |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
h10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
h1 |
|
|
|
A1 |
|
C1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г)
a2 bb2 2
aa11 bb11
г)
2
Рисунок 3.2
31
3.2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости проекций, называется плоскостью общего положения, рисунок 3.3.
|
П2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
A2 |
|
B |
B3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
A |
C |
C3 |
A3 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
П1 |
A1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П3 |
|
|
|
z |
|
|
|
AB2 |
|
A2 |
|
|
|
|
C2 |
O |
|
x |
|
y |
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
y |
|
Рисунок 3.3 |
|
|
|
3.2.1 Плоскости частного положения
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Таких плоскостей три:
- плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций,
называется горизонтально – проецирующей, рисунок 3.4;
|
П2 |
|
|
|
|
В2 |
|
|
А2 |
|
В |
|
|
|
|
x |
А |
С2 |
x |
|
|
|
А1 |
В1 |
С |
А1 |
|
|
C1 |
|
||
|
В1 |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
П1
Рисунок 3.4
32
- плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций,
называется фронтально – проецирующей, рисунок 3.5;
|
|
П2 |
|
А2 |
|
А2 |
|
|
В2 |
||
|
В2 |
||
|
|
||
А |
В |
С2 |
|
С2 |
|||
|
|
||
|
|
С |
|
x |
|
x |
|
|
|
||
П1 |
В1 |
С1 |
|
А1 |
|||
|
|
Рисунок 3.5
- плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций,
называется профильно - проецирующей, рисунок 3.6.
П2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
П3 |
|
B2 |
|
|
|
|
|
А2 |
|
B3 |
|
|
B |
|
|
C2 |
|
A |
|
|
|
|
A3 |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
C3 |
C |
|
|
||
|
B1 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
П1 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
B |
|
|
B |
B2 2 |
|
|
|
|
A2 |
|
3 |
|
|
A3 |
|
|
A2 |
|
|
C2 |
|
C3 |
|
|
|
|
|
x |
|
O |
y |
|
|
||
|
|
y |
|
Рисунок 3.6
33
Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций, |
|||||
называется горизонтальной плоскостью уровня, рисунок 3.7. |
|||||
П2 |
|
z |
A2 |
B2 |
z |
|
|
|
C2 |
||
|
|
|
П3 |
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
B3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C3 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
A |
A3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
x |
|
||
x |
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
C1 |
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
Рисунок 3.7 |
||
|
|
|
|
||
Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется
фронтальной плоскостью уровня, рисунок 3.8.
П2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B |
|
B3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
A |
|
0 |
A3 |
|
x |
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
B1 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
y |
A1 |
B1 |
C1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.8
34
Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций, называется
профильной плоскостью уровня, рисунок 3.9.
|
П2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
П3 |
A2 |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
||
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
B3 |
|
x |
0 |
y |
x |
|
C |
0 |
C3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
B1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
A1 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
C1 |
y |
|
Рисунок 3.9
3.3 Прямая и точка в плоскости
Прямая линия принадлежит плоскости, если: она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости, или проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, рисунок 3.10.
а) |
|
|
|
l2 |
б) |
||
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
b1 |
|
x |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.10
35
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на какой-нибудь прямой, принадлежащей этой плоскости, рисунок 3.11.
а) |
|
|
б) |
|
|
||
|
|
A2 |
|
|
|
В |
|
|
a2 |
b2 |
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a1 |
|
b1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b1
a1
Рисунок 3.11
Кривая линия принадлежит плоскости, если все ее точки принадлежат этой плоскости, рисунок 3.12.
|
B2 |
|
|
A2 |
|
x |
C2 |
|
B 1 |
||
|
||
|
A1 |
C1
Рисунок 3.12
36
Прямые, принадлежащие заданной плоскости и параллельные какойлибо плоскости проекций, а также прямые, перпендикулярные этим прямым,
называются главными линиями плоскости, рисунок 3.13.
а) |
|
б) |
в) |
b2 |
a |
|
Г2 |
2 |
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|||
a |
1 |
b1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г1 |
|
|
|
|
|
|
||
Рисунок 3.13
Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные какой-либо линии уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций, рисунок 3.14.
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
a22 |
|
|
b |
||
|
|
b2 |
|||
|
|
|
2 |
||
x |
|
|
|
||
a 1 |
|
M1 b1 |
|||
|
|
|
|
b 1 |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
A1
Рисунок 3.14
37
3.4 Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей данной плоскости, рисунок 3.15.
A2
|
a 2 |
|
b 2 |
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
a 1 |
|
b1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A1
Рисунок 3.15
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, рисунок 3.16.
а) |
|
|
|
|
б) |
|||||
|
|
|
f2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Г2 |
||||
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
A2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
A1 |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h1 |
|||||||
Рисунок 3.16
3.5 Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей
Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, рисунок 3.17.
38
m2 n2
A2
x
A1
m1 n1
Рисунок 3.17
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости, рисунок 3.18.
а) |
б) |
|
B2 |
A2 Г2
C2
A2
x |
x |
|
A1
C1
A1
B1
Рисунок 3.18
Выводы:
-плоскость образуется непрерывным движением прямой линии по двум параллельным или пересекающимся прямым;
-плоскость на чертеже задается проекциями геометрических элементов, определяющих ее в пространстве;
-по характеру расположения проекций геометрических элементов, задающих плоскость, можно судить о положении ее в пространстве по отношению как к плоскостям проекций, так и к другим геометрическим объектам, заданным на чертеже.
39
3.6 Тест для текущего контроля по теме «Плоскость»
А. На каком чертеже плоскость занимает частное положение?
1 |
|
В2 |
|
2 |
В2 |
|
|
3 |
В2 |
|
|
|
4 |
В2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
2 |
|
С2 |
А2 |
|
С2 |
А |
2 |
|
С2 |
А |
2 |
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
А1 |
|
|
А1 |
|
С1 |
А1 |
|
С1 |
А1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В1 |
С1 |
|
|
В1 |
|
|
|
В1 |
|
|
|
|
|
С1 |
Рисунок 3.19
Б. На каких чертежах задана фронтально-проецирующая плоскость?
1 |
В2 |
2 |
3 |
4 |
|
В2 |
|
С2 |
m=n2 2 |
А2 |
|
||
|
|
|
|
Г2 |
С2 |
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
m1 |
|
|
|
|
В1 |
n1 |
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
||
А1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
С1 |
В1 |
||
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.20
В. Какую плоскость невозможно провести через прямую а?
а2 |
1 |
общего положения |
|
2 |
проецирующую |
а1 |
3 |
уровня |
|
|
Рисунок 3.21
40