Задача 2.
На заводе проведено обследование затрат времени на обработку одной детали. Получены следующие данные:
Затраты времени на одну деталь, мин |
Число рабочих в % к итогу |
до 25 |
2 |
25-30 |
12 |
31-34 |
34 |
35-40 |
11 |
41-44 |
39 |
Свыше 45 |
2 |
Исчислите средние и показатели вариации затрат времени на одну деталь:
1) среднюю величину;
2) среднеквадратическое отклонение;
4) коэффициент вариации;
5) моду, медиану;
6) асимметрию и эксцесс.
Решение:
Для начала перейдем к дискретному ряду, вычислив полусуммы верхней и нижней границ каждого интервала, т.е. найдем средние затраты времени на одну деталь каждом интервале, также переведем проценты в доли и составим расчетную таблицу с данными, необходимыми для решения задачи:
Затраты времени на 1 деталь, мин |
Средние затраты времени на 1 деталь, мин ( |
Число рабочих, доля ( |
* |
(-)2* |
(-)3* |
(-)4* |
до 25 |
23,5 |
0,02 |
0,47 |
3,364 |
-43,637 |
565,965 |
25-30 |
27,5 |
0,12 |
3,3 |
9,655 |
-86,608 |
776,875 |
31-34 |
32,5 |
0,34 |
11,05 |
5,359 |
-21,274 |
84,458 |
35-40 |
37,5 |
0,11 |
4,125 |
0,117 |
0,120 |
0,124 |
41-44 |
42,5 |
0,39 |
16,575 |
14,181 |
85,510 |
515,625 |
Свыше 45 |
47,5 |
0,02 |
0,95 |
2,433 |
26,838 |
296,027 |
Итого |
211 |
1 |
36,47 |
35,109 |
-39,050 |
2239,074 |
1) Для определения средней величины затрат на изготовление одной детали поездок воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:
(мин.)
-
Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:
= 5,925 (мин.)
-
Определим коэффициент вариации по следующей формуле:
= 16,25 %
-
Найдем моду и медиану по формулам:
где – нижняя граница величины затрат на одну деталь модального интервала;
h – шаг интервала, величина интервала;
– доля числа рабочих соответственно в модальном, в предшествующем модальному и последующем за модальным интервалах.
где – нижняя граница величины затрат на изготовление одной детали в медианном интервале;
– сумма числа доли рабочих;
– сумма накопленных частот до медианного интервала;
– доля числа рабочих в медианном интервале.
-
Асимметрия и эксцесс распределения вычисляются по формулам:
,
где– асимметрия;
– центральный момент 3-го порядка;
– среднее квадратическое отклонение.
;
;
Так как As < 0, то преобладают значения ниже среднего.
,
где – эксцесс;
– центральный момент 4-го порядка;
– среднее квадратическое отклонение.
Так как Ex < 0, то распределение является плосковершинным.
Вывод: Обследование всего числа рабочих, показало, что средняя величина затрат на изготовление одной детали составляет 36,47 минут. Колебание признака не существенно, а средняя надежна, так как вариация признака составляет 16,25%, что не превышает допустимое значение – 40%. Наиболее часто встречающаяся величина изготовления одной детали – 42,21 минута. Асимметрия значительна, так как ее значение составляет –0,032, что означает о преобладании наименьших затрат времени на изготовление одной детали. Отрицательный эксцесс свидетельствует о плосковершинном распределении значений.